Exponenciales 1

Prec´alculo
Departamento de Matem´aticas
Universidad de los Andes
En progreso — 2012
Para primera versi´on Mayo 2013

´Indice general

i

ii

´INDICE GENERAL

Cap´ıtulo 1

Funci´
on exponencial y logaritmos
En este cap´ıtulo primero se define la funci´on exponencial y se hace un repaso de sus propiedades.
Despu´es se define el logaritmo como la inversa de la exponencial y se establecen suspropiedades.
Finalmente se ven algunas aplicaciones y se termina con una nota hist´orica.

1.1.

Definici´
on de la funci´
on exponencial

Definici[Pleaseinsert“PrerenderUnicode–˝intopreamble]n 1.1. La funci´
on exponencial
f con base a est´
a definida por
f (x) = a,
donde a es una constante positiva distinta de 1 (a > 0 y a = 1) y x es cualquier n´
umero real.

1.1.1.

Repaso de potenciaci´
onDefinici[Pleaseinsert“PrerenderUnicode–˝intopreamble]n 1.2. Sea n un n´
umero natural.
n
Se define a como
a... ...a
n veces

Con base a esta definici´
on se prob´
o
an am = an+m
(an )m = anm
(ab)n = an bn
a n an
= n
b
b
Si queremos que las anteriores propiedades se mantengan para los enteros ({0, 1, −1, 2, −2 . . .}) se
define a−n (n natural) como
1
an
0
a = 1.

a−n =

1

2

´ EXPONENCIAL YLOGARITMOS
CAP´ITULO 1. FUNCION

As´ı
1 = a0 = an−n = an a−n ,
donde en la u
´ltima igualdad se us´
o la propiedad an am = an+m .
√
El c´alculo de n a para a positivo (antes del invenci´on de las calculadoras) se puede hacer con el
siguiente algoritmo, que s´
olo involucra sumas multiplicaciones y divisiones:
xm = xm−1 +

a − (xm−1 )n
,
n(xm−1 )n−1

(1.1)

donde x0 es una ra´ız aproximada.
√
3

Ejemplo1.1. Use el algoritmo 1.1 para encontrar
culadora.

10, compare su resultado con el de una cal-

Soluci[Pleaseinsert“PrerenderUnicode–˝intopreamble]n.
Lo primero es encontrar una buena apro√
√
ximaci´on. Como sabemos que 3 8 = 2, que 3 27 = 3 y que 8 < 10 < 27, interpolando linealmente,
es decir, encontrando la ecuaci´
on de la recta que pasa por los puntos (8, 2) y (27, 3) y se eval´
ua
2
en 10obteniendo x0 = 2 + 19
≈ 2,10526316. La siguiente tabla muestra la r´apida convergencia del
proceso:
x0

2,10526316

x1

2,15559221

x2

2,15443531

x3

2,15443469

x4

2,15443469

x5

2,15443469

La calculadora da 2,15443469 que es exactamente el valor que se repite a partir de x3 .
Teniendo claro que se puede calcular

√
n

p

a para a > 0 se define a q con
√
q

ap =

√
q

a

p

p
q

> 0 como

.

Ypor supuesto se extiende a los racionales negativos como
a

− pq

=

1
p

.

aq
De esta forma queda definido ax para todo x racional. ¿Pero qu´e hay de los irracionales como

√

2?

2x

Para responder esta pregunta miremos primero la gr´afica de y =
donde x es racional. Una
representaci´
on de esta gr´
afica se muestra en la figura 1.1. Se desea extender el dominio de 2x tanto
para racionalescomo irracionales.
La gr´afica de la figura 1.1 est´
a llena de agujeros correspondientes a los n´
umeros irracionales, pero
observamos que f (x) es creciente en los racionales aprovechando este hecho extendemos f (x) a los

´ DE LA FUNCION
´ EXPONENCIAL
1.1. DEFINICION

3

Figura 1.1: y = 2x donde x es racional
irracionales
f sea una funci´on creciente. Como ejemplo, veamos el caso del n´
umero
√detal forma que √
irracional 2. Sabemos que 2 satisface
√
1,4 < 2 < 1,5
luego se debe tener
21,4 < 2

√
2

< 21,5 .

Sabemos
c´omo calcular 21,4 , 21,5 porque 1,4 y 1,5 son racionales. Tomando mejores aproximaciones
√
de 2 se tiene
21,4 < 2
21,41 < 2
21,414 < 2
21,4142 < 2
21,41421 < 2

√
√
√
√
√

2

< 21,5

2

< 21,42

2

< 21,415

2

< 21,4143

2

< 21,41422

·

·

·

·

·

·

Se puede probar queexiste un u
´nico n´
umero real que es m´as grande que todos los n´
umeros
21,4 , 21,41 , 21,414 , 21,4142 , 21,41421 , . . .

´ EXPONENCIAL Y LOGARITMOS
CAP´ITULO 1. FUNCION

4

y m´as peque˜
no que todos los n´
umeros
21,5 , 21,42 , 21,415 , 21,4143 , 21,41422 , . . .
√
umero.
Se define 2 2 como este n´

√
Claro est´a que este procedimiento no es el m´as simple para calcular 2 2.
En la nota...