extensiones numericas

PARCIAL GRUPAL EXTENSIONES


Segundo punto
Sea
a. Construir (polinomio de menor grado con coeficientes en que tiene como una de sus soluciones a 𝛼) y (Extensión algebraica de asociada a)
b. Si , con , ¿?.
c. Encontrar si existe el inverso multiplicativo de 𝜇 = 1 − 𝛼 +
Solución:
a.
Sea el conjunto de los enteros módulo 7 bajo la adición y la multiplicación módulo 7. Esdecir, los elementos de son las clases de equivalencias representadas por los elementos donde:

siendo el resultado de la división de ejemplo

siendo el resultado de la división de ejemploAhora para encontrar el polinomio lo hacemos igualando y empezar a hacer el proceso inverso para encontrar el polinomio que nos están pidiendo:





Polinomio irreducible en con solución αb. Se plantea la solución a esta pregunta de la siguiente forma:

Ya que podemos afirmar que y por ser la extensión de forma otro conjunto en el cual se encuentran los elementos de por lotanto

Si

Teniendo en cuenta que cumple con la estructura algebraica de esto quiere decir que cumple con la cerradura

X

Ahora debemos demostrar que y para esto se recurre alo siguiente:

= 1
=

=4
=

2

=
1

Lo que se observa es que para las potencias de tres su resultado es una parte entera, siendo estos elementos de .
Para las otras potencias susresultados son partes enteras con radical que corresponde a los elementos de
Entonces como todos los resultados de la operación son elementos de
Los elementos de van a ser de la forma a + b con a, b, c coeficientes de .

d. Inverso multiplicativo de 𝜇 = 1 − 𝛼 +
Recordemos que el inverso multiplicativo es aquel número que multiplicándolo por su reciproco nos da como resultado 1, ejemplo:Ahora hacemos lo mismo con 𝜇 primero reemplazamos a 𝛼 en 𝜇:


Ahora como lo mencionamos anteriormente debemos encontrar un número que al multiplicarlo por 𝜇 nos de cómo resultado 1...