Finanzas e impuesto

Capítulo VII

PROBABILIDAD

1.

Introducción

• Se indicaba en el capítulo anterior que cuando un experimento aleatorio se repite un gran número de veces, los posibles resultados tienden a presentarse un número muy parecido de veces, lo cual indica que la frecuencia de aparición de cada resultado tiende a estabilizarse. • El concepto o idea que generalmente se tiene del términoprobabilidad es adquirido de forma intuitiva, siendo suficiente para manejarlo en la vida corriente. Nos interesa ahora la medida numérica de la posibilidad de que ocurra un suceso A cuando se realiza el experimento aleatorio. A esta medida la llamaremos probabilidad del suceso A y la representaremos por p(A). La probabilidad es una medida sobre la escala 0 a 1 de tal forma que: • Al suceso imposible lecorresponde el valor 0 • Al suceso seguro le corresponde el valor 1 • El resto de sucesos tendrán una probabilidad comprendida entre 0 y 1 El concepto de probabilidad no es único, pues se puede considerar desde distintos puntos de vista: • El punto de vista objetivo • Definición clásica o a priori • Definición frecuentista o a posteriori • El punto de vista subjetivo

2.

Definición Clásica de laProbabilidad

Sea un experimento aleatorio cuyo correspondiente espacio muestral E está formado por un número n finito de posibles resultados distintos y con la misma probabilidad de ocurrir {e1, e2, ... , en}. Si n1 resultados constituyen el subconjunto o suceso A1, n2 resultados constituyen el subconjunto o suceso A2 y, en general, nk resultados constituyen el subconjunto o suceso Ak de talforma que: n1 + n2 + ... + nk = n Las probabilidades de los sucesos A1, A1,..., p(A1 ) = n An son:

n1

p(A2 ) =

n2 n

... p(Ak ) =

nk n

es decir, que la probabilidad de cualquier Regla de Laplace para E finitos suceso A es igual al cociente entre el número de casos favorables que integran el suceso A Nº de casos favorables de A p(A) = y el número Nº de casos posibles de E
Manual deEstadística de David Ruiz Muñoz

de casos posibles del espacio muestral E. • Para que se pueda aplicar la regla de p(e1) = p(e2) = ... = p(en) Laplace es necesario que todos los sucesos y por tanto p(ei)=1/n ∀ i=1,2,...,n elementales sean equiprobables, es decir: • Siendo A={e1, e2, ... , ek} el suceso formado por k sucesos elementales p(A) = siendo k ≤ n tendremos: La probabilidad verificalas siguientes condiciones:
n • La probabilidad de cualquier suceso es p(A) = i siempre un número no negativo entre 0 y 1 n ni ≤ n ni , n ≥ 0 p( ∅ ) = 0 =0 n
n

∑ p(e
j=1

j

)=

k Nº casos favorables = n Nº casos posibles

• La probabilidad del suceso seguro E vale 1 • La probabilidad del suceso imposible es 0

p(E) =

n =1 n

• La probabilidad de la unión de varios sucesosincompatibles o excluyentes A1, A1,..., Ar es igual a la suma de probabilidades de cada p(A1 ∪ ... ∪ Ar ) = p(A1 ) + p(A2 ) + ... + p(Ar ) uno de ellos

Esta definición clásica de probabilidad fue una de las primeras que se dieron (1900) y se atribuye a Laplace; también se conoce con el nombre de probabilidad a priori pues, para calcularla, es necesario conocer, antes de realizar el experimentoaleatorio, el espacio muestral y el número de resultados o sucesos elementales que entran a formar parte del suceso. La aplicación de la definición clásica de probabilidad puede presentar dificultades de aplicación cuando el espacio muestral es infinito o cuando los posibles resultados de un experimento no son equiprobables. Ej: En un proceso de fabricación de piezas puede haber algunas defectuosas ysi queremos determinar la probabilidad de que una pieza sea defectuosa no podemos utilizar la definición clásica pues necesitaríamos conocer previamente el resultado del proceso de fabricación. Para resolver estos casos, se hace una extensión de la definición de probabilidad, de manera que se pueda aplicar con menos restricciones, llegando así a la definición frecuentista de probabilidad.

3....