Fisica Cuantica

Teorema de Gauss-Bonnet
Omar Valdivia
Universidad de Concepción
November 4, 2004
Definition 1 Se denomina arco de Jordan, C, de clase C m a una sucesión finita
de arcos regulares Ci , i = 1, .., n de clase C m , contiguos, es decir, uno puesto a
continuación del otro de forma que el anterior sea el origen del siguiente como
vemos en la figura que sigue:

Es evidente que un arco de Jordan Ctiene una representación continua
única: x = x (t) , t0 ≤ t ≤ tn tal que sus componentes Ci se representan por
x = x (t) en subintervalos ti−1 ≤ t ≤ ti . Es también evidente que un arco de
Jordan es rectificable y que su longitud es igual a la suma de las longitudes de
sus componentes.
Definition 2 Si los extremos de un arco de Jordan coinciden, se dice que el
acro de Jordan es cerrado.Definition 3 Se llama arco de Jordan cerrado simple o polígono curvilíneo
a un arco de Jordan cerrado que no tiene mas puntos múltiples que sus extremos

1

como vemos en la siguiente figura.

Definition 4 Las componentes regulares de un polígono curvilíneo se llaman
bordes o lados del polígono. Cada punto común a dos lados se llama vértice del
polígono.
Definition 5 Un conjunto de puntos D de unespacio euclídeo E es simplemente conexo si cualquier polígono curvilíneo cerrado en D puede deformarse o
"contraerse" continuamente al rededor de un punto sin salirse de D.
Theorem 6 (de la curva de Jordan): Si C : u1 = u1 (t) , u2 = u2 (t) es un
polígono curvilíneo en el plano, entonces C es el contorno de un dominio D
simplemente conexo y acotado conocido como el interior del polígono.
¡¢
¡
¢
Theorem 7 (de Green): Si P u1 , u2 y Q u1 , u2 son funciones derivables
en un conjunto abierto U del plano que contiene un polígono curvilíneo C y su
interior D y si C está orientado positivamente al rededor de D, es decir, si una
pequeña rotación positiva de un vector tangente a C lo deja señalando hacia el
interior de D entonces
¶
¶
Iµ
ZZ µ
∂P
du1
∂Q
du2
− 2 du1 du2
(1)
P+Q
dt =
dt
dt
∂u1
∂u
C
R
donde R es el conjunto cerrado D ∪ C.
¢
¡
Supongamos ahora que x = x u1 , u2 es una carta de una superficie de clase
C ≥ 3 tal que las curvas paramétrics sean ortogonales. Supongamos además
¡
¢
que x = x (s) = x u1 (s) , u2 (s) es una representación natural de un polígono
¡
¢
curvilíneso C de clase C 2 en x = x u1 , u2 orientada positivamente y cuyointerior es simplemente conexo. Asumiremos que
ˆ1 =
e

xu1
x2
, ˆ2 = u
e
|xu1 |
|xu2 |

(2)

los cuales son los vectores unitarios a lo largo de C en la dirección y sentido de
las curvas de parámetros u1 y de parámetros u2 respectivamente.
2

Consideremos el polígono curvilíneo C mostrado en la siguiente figura:

Para obtener el vector tangente V1 (s), es conveniente introducir unafunción
θ (s) derivable a trozos, de manera que V1 (s) es dado por
V1 (s) = cos θˆ1 + sin θˆ2
e
e

(3)

debemos notar que θ (s) presenta un salto en cada vértice Pi de C el cual es
igual a un ángulo αi , donde −π < αi < π . El ángulo αi es conocido como el
ángulo externo de C en Pi .
¡
¢
Theorem 8 (de Liouville): Sea x = x u1 , u2 una carta de una superficie
de clase C ≥ 2, tal quelas curvas de parámetros u1 y de parámetros u2 sean
¡
¢
ortogonales, sea x = x u1 (s) , u2 (s) una curva C representada en forma natx
x
ural en la carta de clase C 2 , y sean ˆ1 = xu1 , ˆ2 = xu2 vectores unitarios en
e
e
| u1 |
| u2 |
las direcciones de las líneas paramétricas. Sean además θ = θ (s) una función a lo largo de C descrita por el vector unitario tangente a lo largo de C :
V1(s) = cos θˆ1 + sin θˆ2 , entonces la curvatura geodésica de C es dada por
e
e
κg =

dθ
+ κ1 cos θ + κ2 sin θ
ds

(4)

donde κ1 es la curvatura geodésica de la curva de parámetro u1 y κ2 es la
curvatura geodésca de la cuva de parámetro u2 .
Integrando ec.(3) a lo largo de C tenemos:
Z
Z
Z
dθ
κg ds =
(κ1 cos θ + κ2 sin θ) ds
ds +
C
C ds
C
puesto que
V1 (s) = cos θˆ1 +...