Fisicoquimica

Funciones y Límites

Función
Se define una función f : A  , como una aplicación de un subconjunto
A  en , en consecuencia a cada x  A , le corresponde un valor
f(x)  .
x3 +7
Algunos ejemplos son: f(x)=x -1, f(x)=e , f(x)= 2
x +5
Y
2

x

y = f(x)

Im f

X
Dom f

Razones de cambio y límites
La rapidez promedio de un móvil es la distancia recorrida
durante un intervalode tiempo dividida entre la longitud del
intervalo.

f x  h   f x 
r  lim
h 0
h

Ejemplo 1
Una piedra cae desde una altura de 50 metros. ¿Cuál es la rapidez
promedio durante a) los 2 primeros segundos de la caída y durante b) 1
segundo del segundo 1 al segundo 2?
La caída esta gobernada por la siguiente ecuación
y = 5.1 t2 m
y 5.12  5.10

 10.2 m/s
t
20
2

a)los primeros 2 segundos:

y 5.12  5.11

 20.4 m/s
t
2 1
2

b) del segundo 1 al 2:

2

2

Ejemplo 2
Hallar la rapidez de la piedra en t = 1 y en t =2.

y 5.1t0  h   5.1t0 

t
h
2

La rapidez promedio en el intervalo [t0 , t0 + h] es

2

Como no se puede dividir entre 0, hacemos h = 1, 0.1, 0.01, 0.001 y 0.0001 y
obtenemos la siguiente tablaLongitud del
intervalo de
tiempo h

Rapidez promedio en
un intervalo de tiempo
de longitud h,
empezando en t0 = 1

Rapidez promedio en
un intervalo de
tiempo de longitud h,
empezando en t0 = 2

1

15.3

25.5

0.1

10.71

20.91

0.01

10.251

20.451

0.001

10.2051

20.4051

0.0001

10.20051

20.40051

Los valores tienden a 10.2 en t = 1 y 20.4 en t =2.Rectas secantes
La razón de cambio promedio de y = f(x) con respecto a x en el intervalo [x1, x2]
es
y

y = f(x)

y f x2   f x1  f x1  h   f x1 


t
x2  x1
h

Q(x2,f(x2))

y

secante

P(x1,f(x1))
x1

x
x2

x

Ejemplo 3
f x  h   f x 
r  lim
h 0
h

Derive para la function f(x)= x2

x  h 2  x 2
r  lim
h 0

h

x 2  2hx  h 2  x 2r  lim
h 0
h

h2 x  h 
r  lim
h 0
h
r  lim 2 x  h
h 0

r  2x

Aplique el limite (h=0)

Ejemplo 4
r  lim
h 0

f x  h   f x 
h

x  h  

r  lim
h 0

r  lim



h 0

Derive para la function

x

h

x  h   x  x  h  
h  x  h   x 

h
r  lim
h 0 h
x  h   x



r  lim
h 0

r



f x   x

1
x  h  

x







1
1

x x 2 x



x

Aplique el limite (h=0)

Reglas de derivación
d
c   0
dx

d
x   1
dx
d p
p 1 du
u  pu
;
dx
dx
d
1 dv
v
.
dx
2 v dx

Derivada de una constante

Derivada de la variable de potencia = 1

Derivada de la variable de potencia = n

 

d 3
2
x  3x
dx

Reglas de derivación
d
u  v   du dv
dx
dx dx

Derivada de una suma o resta

d
dv
du
uv   u  v
dx
dx
dx

Derivada de un producto

du
dv
u
d u
   dx 2 dx
dx  v 
v

Derivada de una división

v

d
dv
cv   c
dx
dx

Derivada de la variable multiplicada por una constante

 

d
5 x 7  35 x 6
dx

y  8x5

Derivada de orden superior

d  dy  d 2 y
  2
dx  dx  dxdy
 40 x 4
dx
d2y
 160 x 3
dx 2
d3y
 480 x 2
dx 3
d4y
 960 x
4
dx
d5y
 960
5
dx
d6y
0
6
dx

Formulas de Derivadas
d u
u du
e e
dx
dx
d
1 du
ln u 
;
dx
u dx
d
1 du
log b u 
;
dx
u ln b dx
d u
du
u
a  a ln a .
dx
dx

Formulas derivadas Trigonométricas

d
du
sen u  cos u ;
dx
dx
d
2 du
tg u  sec u ;
dx
dx
d
du
sec u  sec utg u ;
dx
dx

d
du
cos u  sen u ;
dx
dx
d
2 du
ctg u   csc u ;
dx
dx
d
du
csc u   csc u ctg u .
dx
dx

Reglas de Derivadas
 

d n
x  nx n 1
dx
d
 sin x   cos x
dx
d
 cos x    sin x
dx
d
tan x   sec2 x

dx

d
 cot x    csc2 x
dx
d
 sec x   sec x tan x
dx
d
 csc x    csc x cot x
dx

d
1
 arcsin x  
dx
1  x2

d...