Fluidos

Cap´
ıtulo 5
Flujo irrotacional ideal
A pesar de que las ecuaciones de conservaci´n para un fluido newtoniano
o
existen y que el sistema es cerrado (mismo n´mero de ecuaciones que de
u
inc´gnitas), su uso es limitado. Solo en casos especiales este conjunto de
o
ecuaciones se puede resolver.
Un caso simplificado, el cual se puede resolver anal´
ıticamente, es el del
fluido inviscido. Sisuponemos que los efectos viscosos no son importantes,
la complejidad de las ecuaciones se reduce considerablemente y se pueden
encontrar soluciones a flujos complicados. Sin embargo, las soluciones que
se obtienen se deben utilizar con reservas en el contexto de aplicaciones de
ingenier´ suponer que las viscosidad es zero tiene implicaciones f´
ıa:
ısicas considerables.
En este cap´
ıtulose ver´ la teor´ general del flujo no viscoso.
a
ıa
MMFM:dynamics:Potential flow

5.1.

Ecuaciones de Euler

La ecuaci´n que gobierna el movimiento del flujo no viscoso se obtiene
o
directamente de las ecuaciones de Navier-Stokes. Simplemente se supone que
la viscosidad es cero (µ = 0); as´ el t´rmino que tiene el laplaciano de la
ı,
e
velocidad desaparece:
ρ

∂v
v v
+

= − P +ρg

(5.1)

En este caso, el cambio de momentum en el fluido es resultado unicamente
´
de dos tipos de fuerzas: fuerzas de presi´n y fuerzas gravitacionales. Este
o
115

CAP´
ITULO 5. FLUJO IRROTACIONAL IDEAL

116

sistema de ecuaciones se conocen las ecuaciones de Euler.
Cabe notar que el orden de este sistema de ecuaciones en menor que
el de las ecuaciones de Navier Stokes.Matem´ticamente, esto implica que
a
se necesitar´ un numero menor de condiciones de frontera para encontrar
a
soluciones. De hecho, la condici´n que no se requiere satisfacer es la condici´n
o
o
de no deslizamiento. Esta consecuencia matem´tica es la que, precisamente,
a
causa que las soluciones de estas ecuaciones no sean reales.
La ecuaci´n de conservaci´n de masa se mantiene igual, a pesarde haber
o
o
considerado que los efectos viscosos no son importantes:
·v =0

5.2.

(5.2)

Ecuaci´n de Bernoulli
o

Es posible obtener una versi´n simplificada de la ecuaci´n de conservaci´n
o
o
o
de momentum para el caso de un flujo ideal.
Consideremos, inicialmente, las ecuaciones de Euler. Si consideramos que
g es un campo conservativo entonces se puede representar como
g=

Φ. Podemos usar la siguiente identidad vectorial para simplificar el t´rmino
e
v v que aparece dentro de la derivada material de v:
(v )v =

1
v·v −v×
2

×v

(esta identidad es la definici´n del triple producto cruz).
o
Sustituyendo estas dos expresiones en la ecuaci´n de N-S para en la
o
ecuaci´n de Euler, tenemos:
o
∂v
+
∂t

1
v·v −v×
2

×v =−

1
P+
ρ

Rearreglandot´rminos podemos escribir
e
∂v
+
∂t

1
P
+ v·v−Φ
ρ
2

=v×

×v

Φ

117

5.3. FLUJO POTENCIAL

Si tomamos el caso de un flujo estacionario, ∂/∂t = 0, y un flujo irrotacional × v = 0, entonces la expresi´n anterior se reduce a:
o
P
1
+ v·v−Φ
ρ
2

=0

Una linea de corriente es aquella l´
ınea que es tangente al vector velocidad
en cada punto. De la definici´n de unalinea de corriente sabemos que:
o
dx
dy
dz
=
=
u
v
w
P
ρ

Para que para cualquier campo de presiones y velocidades, el gradiente de
+ 1 v · v − Φ sea cero, la unica posibilidad es que este t´rmino sea constante:
´
e
2
1
P
+ v · v − Φ = constante
ρ
2

Para un campo gravitacional ordinario podemos escribir Φ = −gz. Entonces:
P
1
+ v · v + gz = constante
(5.3)
ρ
2
que soconoce como la ecuaci´n de Bernoulli.
o

5.2.1.

Ejemplos de aplicaci´n
o

Secci´n sin completar.
o

5.3.

Flujo potencial

El m´todo mas com´n para la soluci´n de las ecuaciones de Euler consiste
e
u
o
en resolver la ecuaci´n de conservaci´n de masa para un flujo dado. Una vez
o
o
conocido el campo de velocidades, la ecuaci´n de conservaci´n de momentum
o
o
se usa solo...