flujo eléctrico

La Ley de Gauss

IV.1

Flujo:
Se introducen términos como “el flujo” del campo eléctrico o “flujo
eléctrico”. El flujo, Φ, de un campo vectorial involucra: i) el campo, ii)
una superficie a través de la cual se
y
evalua el flujo.
Esta superficie se
representa por ΔS y el módulo es el área.
ΔS

x

y

ΔS

ΔS

Considere una hoja de papel g
horizontal, de lado a y b, en elcampo
gravitacional, el flujo del campo
gravitacional, Φg, es dado por el
producto punto vectoral, Φg = g · ΔS =
(–g j) · (ab j) = –gab. Note que las z
unidades de flujo en este caso son
N·m2·kg–2.
Al orientar la misma hoja
verticalmente, Φg = 0. En el caso de una
superficie cerrada el sentido de ΔS es
arbitario, pero esto se resuelve al
considerar una superficie cerrada, lo
que esnormalmente el caso.
De acuerdo a lo anterior, se define
el flujo eléctrico: ΦE = E · ΔS = E ΔS cos z
θ, suponiendo la superficie plana y el
campo localmente uniforme.
Las unidades del flujo, ΦE, son N·m2·C–1.

ΔS
ΔS

ΔS

θ

Δ

θ
os
Sc

x

En general tanto la superficie como el campo depende de posición,
por lo cual se divide la superficie en pequeños elementos y el flujo totalsería la suma de todos los elementos, “i”.
En el límite en que el número de elementos es
muy grande, la suma se convierte en un integral
sobre toda la superficie que se llama: integral de
superficie, donde el flujo del campo eléctico a
través de una superficie es igual a la integral de
superficie de E extendida a toda la superficie.
ΦE = lím

∑ Ei • ΔSi = ∫ E • dS = ∫ E cosθ

ΔSi → 0 iΔS
θ

E

dS

De especial aplicación es el flujo a través de una superficie cerrada, éste
superficie, a menudo imaginaria, es una superficie gausiana:

∫

ΦE = E • dS

La Ley de Gauss:
El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada arbitraria es
proporcional a la carga neta encerrada.
Podemos visualizarlo facilmente en el diagrama abajo, y al recordar de
que cada línea decampo eléctrico nace y finaliza en un portador
individual de carga.

Consideremos las superficies de los volumenes grises y la relación
entre las líneas de campo que entran y salen de éstos, junto con la
relación con la carga total encerrada. A la izq. se ve que el número que
líneas que entran al volumen igualan la cantidad de líneas que salen, y
paralelalmente se ven que la carga netaencerrada es cero.
En caso contrario, a la derecha, se observa que la cantidad de líneas
que salen supera a la cantidad de líneas que entran. Esto concuerda con
el hecho de que la carga neta encerrada ya no es cero, sino es +q.
Resulta fácil encontrar la relación entre el uso del flujo eléctrico y la
ley de Gauss al considerar el caso de una sola carga rodeada por una
superficie cerradaesférica de diámetro r.
En toda la superficie E · dS = E · dS, es decir cos θ = 1. Entonces la
integración de superficie es muy sencilla:

∫

∫

∫

ΦE = E • dS = EdS = E dS = E (4πr 2 )
Por tanto:
q
q
E ( 4πr 2 ) = ε
o E=
.
0
4πr 2

.

dS
r

q

E

En tanto se tiene:

∑ qi

∫

∫

ΦE = iε = E • dS = E cosθ dS
0

En unidades SI, el valor del constante épsilon subceroy es además
directamente relacionado a la velocidad de la luz, es:
ε0 = 14πk = 8,854 E − 12 C2 N −1m−2 .

La relación entre las líneas del campo,
su densidad, y el flujo se ve al
considerar dos esféras concentricas en
torno de una carga positiva, q.
El radio de la segunda esfera se el
doble del primero.
El área del
segundo es cuatro veces el del
primero, A2 = 4A1. Si N es el númerode líneas que cruzan una esfera de
área A, la densidad de líneas es N/A.
Como el número de líneas que cruzan
ambas esferas es lo mismo en este
caso, porque no hay un carga,

r1
q

r2

que sería una fuente de líneas adicionales, entre las dos superficies, la
densidad de líneas es cuatro veces menor para la esfera grande que para
la pequeña. El campo E es también proporcional al...