Formulación y solución de ecuaciones lineales en diferencias con coeficientes constantes

FORMULACIÓN Y SOLUCIÓN DE ECUACIONES
LINEALES EN DIFERENCIAS CON COEFICIENTES
CONSTANTES EN EL CONTEXTO DEL
ANÁLISIS DE SERIES TEMPORALES (*)

Ramón Mahía
Junio 1998.

(*) Este documento forma parte de la Tesis Doctoral enmarcada en el área del análisis
de cointegración del mismo autor y dirigida por D. José Vicéns Otero.

ÍNDICE DE CONTENIDO
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INTRODUCCIÓN

1.- DEFINICIONES PRINCIPALES. Formaestructural y reducida de una ecuación
en diferencias
2.- SOLUCIÓN DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS. Conceptos previos
3.- SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN EN DIFERENCIAS POR ITERACIÓN
4.- SOLUCIÓN HOMOGENEA Y PARTICULAR. Planteamiento
4.A.- Obtención de la solución homogénea: ecuación y raíces características.
Ecuaciones de segundo grado
4.B.- Obtención de la solución homogénea a partir del polinomio deretardos
4.C.- Condiciones de estabilidad de la solución homogénea de una ecuación de
segundo grado. Caso 1. Raíces reales y distintas. Caso 2. Raíces reales e
idénticas. Caso 3. Raíces imaginarias
4.E.- El celebre círculo unitario
4.D.- Obtención de la solución particular. Solución particular con procesos de
fuerza g(t) deterministas. Caso 1. g(t) constante. Caso 2. g(t) función del
tiempo (yt contendencia determinista). Caso 3. g(t) exponencial (caso
específico de yt con tendencia determinista no lineal)
4.E.- Aproximación matemática al concepto de raíz unitaria
4.F.- Solución particular con procesos de fuerza estocásticos
5.- UN EJEMPLO PRÁCTICO COMPLETO

Ecuaciones en diferencias para el análisis de series temporales

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FORMULACIÓN Y SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES EN
DIFERENCIAS CONCOEFICIENTES CONSTANTES EN EL CONTEXTO
DEL ANÁLISIS DE SERIES TEMPORALES
Desde que a principios de los años 70 se presentara la metodología ARIMA
como una herramienta útil para “modelizar” el comportamiento de algunas magnitudes
susceptibles de ser representadas como una serie temporal, el análisis de series se ha
convertido en una referencia econométrica indispensable. Aunque el uso de losmodelos
de series temporales nacidos a partir de entonces se ha visto en cierto modo eclipsado
durante muchos años por enfoque estructural, poco a poco se han ido abriendo espacios
de aplicación, oportunidades de desarrollo de estas técnicas a la sombra, muchas veces,
de la falta de adecuación perfecta de los modelos “clasicos”1. El campo original
aportado por Box y Jenkins fue creciendo con laincorporación del concepto de
estacionariedad, las preocupación por la modelización de series estacionarias y el
planteamiento de lo que vino a llamarse modelos de corrección de error.
En las últimas dos décadas, la idea de la cointegración no ha venido más que a
confirmar las posibilidades del análisis de series temporales aportando una herramienta
muy valiosa de modelización del equilibrio a largoplazo entre variables. Este “nuevo2”
camino ha posibilitado un resurgimiento claro de esta otra forma de análisis y, hoy en
día, debe formar parte esencial de cualquier económetra.
A la hora de abordar cualquier aspecto relacionado con la cointegración y, en
general, con el estudio de series temporales, nos encontramos con múltiples referencias
matemáticas al tema de las ecuaciones en diferencias yaque el aspecto fundamental de
esta disciplina es, obviamente, la consideración del “tiempo”. Si no se dispone de una
base adecuada de conocimiento de esta materia, la comprensión de determinadas
propiedades, desarrollos y conceptos resulta más compleja. En realidad, el análisis de
series temporales supone la estimación de ecuaciones en diferencias que contienen
componentes estocásticos.
En generalcuando se emprende al principio el estudio de una nueva herramienta,
la tentación empuja a no empezar por el principio obviando, si es posible, el abundante
aparato matemático que requiere la aplicación de la misma. En el caso del análisis de
series temporales, esto no es posible, dado que el desarrollo matemático ha sido
importante desde un principio y en cualquier texto las referencias...