Formulario
Se denomina transformación lineal a toda función, T, cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:
1.
2. donde k es un escalar.Transformación lineal nula
Transformación lineal identidad
Homotecias
con
Si |k| > 1 se denominan dilataciones
Si |k| < 1 se denominan contracciones
PROPIEDADES DE LASTRANSFORMACIONES LINEALES:
Núcleo (kernel) y recorrido
Teorema: Si T: VW es una transformación lineal entonces:
(a) T(0)=0
(b) T(-v)=-T(v) para todos los v en V
(c) T(v-w)=T(v)-T(w) para todos losv y w en V
Demostración. Sea v cualquier vector en V. debido a que 0v=0 se tiene:
T (0)= T (0v)= 0T (v)= 0
Lo cual prueba (a).También T (-v)= T ((-1) v)= (-1) T (v)= T (v), lo cual prueba (b).
Por último v-w=v+ (-1) w; por tanto,
T (v-w)= T (v+ (-1) w)
=T (v)+ (-1) T (w)
=T (v)-T (w)
REPRESENTACION MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACION LINEAL
Si T es una función de en definida por endonde A es una matriz de , y dado que la condición corresponde a la propiedad distributiva de la multiplicación de matrices y la condición es también una propiedad de la multiplicaciónde matrices . Entonces T es una transformación lineal. Y se puede concluir que:
Toda matriz A de define una transformación lineal de en .Ahora consideremos unatransformación lineal T de en ; si aplicamos esta transformación a los vectores base de , obtenemos los siguientes vectores: |
Si construimos una matriz ATcuyas columnas sean los vectores ; AT define una transformación lineal de en tal que si
para i = 1, 2, . . . , n.
Entonces...
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