formulas de dereivadas

Derivada de Funciones de una
Variable Real
Efra´ın Mart´ınez M.
20 de julio de 2009
Resumen
La derivada como raz´
on de cambio uno de los cap´ıtulos mas importantes del c´
alculo diferencial
e integral, probablemente con mayor aplicaci´
on en diferentes ramas de la ingenier´ıa, econom´ıa,
etc.

1.

Derivada de funciones de una variable

Definici´
on 1. Sea, y = f (x) funci´
on definida en S ⊂ Rabierto, x ∈ S, ∆x incremento en x tal que
(x + ∆x) ∈ S. Limite si existe en la recta real ampliada de α(∆x) = ∆y/∆x cuando ∆x → 0, se
llama derivada de y = f (x). Se denota como dy/dx, f ′ (x) y ′ , f ′ , Df , y,
˙ etc., y se lee derivada de y
respecto a x, esto es:
y′ =

dy
∆y
f (x + ∆x) − f (x)
= l´ım α(∆x) = l´ım
= l´ım
∆x→0 ∆x
∆x→0
dx ∆x→0
∆x

1

2.

Reglas de derivaci´
on
Si, u = u(x), v =(x), w = (x) funciones de x y a a, b, c, n constantes, entonces

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)

d
(c) = 0
dx

(8)

d
(x) = 1
dx
d
(cx) = c
dx
d
(xn ) = nxn−1
dx
p
d
xp/q = xp/q−1
dx
q

(9)

d
dx

(7)

n

n

ui

=
i=1

i=1

d
dv
du
(uv) = u
+v
dx
dx
dx
du
dv
dw
d
(uvw) = vw
+ uw
+ uv
dx
dx
dx
dx


n
n
n
dui 
d

(uj )
ui =
dx i=1
dx
i=1

(10)
(11)

j=1,j=i

d u
v (du/dx) − u (dv/dx)
=
dx v
v2
du
d
(un ) =nun−1
dx
dx
d
p
du
up/q = up/q−1
dx
q
dx

(12)

du dv
dw
d
(u ± v ± w) =
±
±
dx
dx dx
dx

(6)

du
d
(cu) = c
dx
dx

(13)

dui
dx

(14)

d
d
(f ◦ g)(x) =
f (g(x)) = f ′ (g(x)) · g ′ (x)
dx
dx

(15)

dy du
dy
=
·
dx
du dx
dy
dy du dv
=
·
·
dx
du dv dx
1
dy
=
dx
dx
dy

(16)
(17)
(18)

(19)

f11 (x)
f21 (x)

f12 (x)
f22 (x)

f11 (x)
···
fi1 (x)
···
f21 (x)

···
···
···
···
···

y = f (u) y

derivadade funci´
on compuesta

u = g(x)

regla de la cadena

y = f (u), u = g(v), v = g(x) regla de la cadena
derivada de funciones inversas
′

=

′
f11
(x)
f21 (x)

′
f12
(x)
f22 (x)

+

f11 (x)
′
f21
(x)

f12 (x)
′
f22
(x)

..
.

(20)

f1n (x)
···
fin (x)
···
f2n (x)

′
n

=
i=1

f11 (x)
···
′
fi1
(x)
···
f21 (x)

···
···
···
···
···

2

f1n (x)
···
′
fin
(x)
···
f2n (x)

E.MART´
INEZ M.

3.

Derivadade funciones trigonom´
etricas
(21)
(22)
(23)

4.

d
du
sin u = cos u
dx
dx
du
d
cos u = − sin u
dx
dx
d
du
tan u = sec2 u
dx
dx

(25)
(26)

du
d
cot u = − csc2 u
dx
dx
du
d
sec u = sec u tan u
dx
dx
d
du
csc u = − csc u cot u
dx
dx

Derivada de funciones trigonom´
etricas inversas

(27)

du
d
1
arcsin u = √
dx
1 − u2 dx

(28)

du
1
d
arc cos u = − √
2
dx
1 − u dx
1 du
d
arctan u =
dx
1 + u2 dx
d1 du
arccot u = −
dx
1 + u2 dx
du
d
±1
arcsec u = √
dx
u u2 − 1 dx

(29)
(30)
(31)

du
∓1
d
arccsc u = √
2
dx
dx
u u −1

(32)

5.

(24)

−

π
π
< arcsin u <
2
2
0 < arc cos u < π

−

π
π
< arctan u <
2
2
0 < arccot u < π

+ Si, 0 < arcsec u <
+ Si, 0 < arccsc u <

π
,
2
π
,
2

−Si,
−Si,

π
< arcsec u < π
2
−π
< arccsc u < 0
2

Derivada de funciones exponenciales y logar´ıtmicas
(33)
(34)
(35)

d
1du
ln u =
dx
u dx
log e du
d
log u =
dx
u dx
d
loga e du
loga u =
dx
u dx

(36)
(37)
a = 0, 1

(38)

3

du
d u
a = au ln a
dx
dx
du
d u
e = eu
dx
dx
d v
du
dv
u = vuv−1
+ uv ln u
dx
dx
dx

E.MART´
INEZ M.

6.

Derivada de funciones hiperb´
olicas
(39)
(40)
(41)

7.
(45)
(46)
(47)
(48)
(49)
(50)

8.

d
du
sinh u = cosh u
dx
dx

(42)

du
d
cosh u = sinh u
dx
dx
d
du
tanh u = sech2 u
dx
dx

(43)(44)

du
d
coth u = − csch2 u
dx
dx
du
d
sech u = − sech u tanh u
dx
dx
d
du
csch u = − csch u coth u
dx
dx

Derivada de funciones hiperb´
olicas inversas
du
1
d
argsinh u = √
dx
u2 + 1 dx
d
±1 du
argcosh u = √
+ Si, cosh−1 u > 0, u > 1, −Si, cosh−1 u < 0, u > 1
dx
u2 − 1 dx
1 du
d
argtanh u =
−1 dx
1 − u2 dx
1 du
d
argcoth u =
u > 1 o u < −1
dx
1 − u2 dx
d
du
∓1
argsech u = √
− Si, sech−1 u >0, +Si, sech−1 u < 0, 0 < u < 1
2
dx
u 1 − u dx
du
du
−1
∓1
d
√
argcsch u =
= √
− Si, u > 0 + Si, u > 0
2
2
dx
|u| 1 + u dx
u 1 + u dx

Derivada de funciones param´
etricas

Definici´
on 2. Si, y = f (t), x = g(t) son funciones continuas de t, tal que g ′ (t) = 0. Se define a:
y=f(t)
x=g(t)
funci´
on param´etrica, t par´
ametro. Si, y = f (g −1 (x)) en alguna regi´on, entonces derivada de funci´...

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