Formulas de hipotesis

Formulas
Oscilaciones de una cuerda tensa
3.1 Objetivos
1. Determinar los modos normales de vibraci´on de una cuerda fija en ambos
extremos.
2. Verificar experimentalmente la relaci´on de la frecuencias en estado de resonancia
de las cuerdas con respecto a los par´ametros: tensi´on, longitud y
densidad.
3. Encontrar la densidad de la cuerda utilizada.
3.2 Preinforme
1. ¿A qu´e sedenomina resonancia ?. Explique.
2. ¿Cu´al es la diferencia entre ondas estacionarias y ondas viajeras ?.
3. Mediante diagramas explique los modos de resonancia de una cuerda fija en
ambos extremos.
3.3 Fundamento Te´orico
Consid´erese una cuerda de longitul L y densidad lineal de masa μ, sujeta en los
extremos x = 0 y x = L. La cuerda se hace oscilar en un punto por medio de un
vibradorconectado a un generador de ondas senoidales. En estas condiciones, el
sistema se constituye en un oscilador forzado. Un an´alisis de las ondas incidentes
y reflejadas que se forman en la cuerda 1 lleva a la siguiente funci´on de onda como
soluci´on de la ecuaci´on diferencial unidimensional de onda:
1ver FISICA volumen II: campos y ondas Alonso-Finn, secci´on 22.5
24
3.3. FUNDAMENTO TE ´ ORICO 25ψ(x, t) = (ASenkx +BCoskx) Sen ωt. (3.1)
Claramente ψ(x, t) no describe una onda viajera ya que x y t no estan involucrados
en el argumento de esta funci´on en la forma (x ± vt). Esto da como resultado
una amplitud que tiene la caracter´ıstica de ser fija para cada punto particular de
la cuerda, pero variable de un punto a otro a lo largo de la misma. La expresi´on
para la amplitud ser´aentonces:
φ(x, t) = (ASenkx +BCoskx). (3.2)
Las constantes A y B se determinan con las condiciones iniciales.
As´ı, la expresi´on:
ψ(x, t) = φ(x)Sen ωt
indica que cada punto de la cuerda tiene un movimiento arm´onico transversal de
frecuencia ω.
Cuando la cuerda est´e en resonancia con el agente externo que produce el movimiento,
se presentar´an los distintos modos propios de oscilaci´on y losdesplazamientos
transversales tendr´an su m´axima amplitud.
Para encontrar las frecuencias fn correspondientes a los modos propios de oscilaci´on
se utilizan las siguientes condiciones de frontera:
• ψ(0,t)=0,
• ψ(L,t)=0.
De la primera condici´on de frontera se obtiene:
[ASenk(0) +BCosk(0)]Sen ωt = BSenωt = 0.
Por lo tanto B = 0 y la ecuaci´on (3.1) queda de la siguiente manera:
ψ(x, t) =ASenkxSenωt.
De la segunda condici´on de frontera:
ASenkLSenωt = 0.
En esta ecuaci´on A y Sen ωt deben ser diferentes de cero. Por tanto:
Sen kL = 0.
Lo cual es v´alido para kL = nπ con n = 1, 2, 3...
26 LABORATORIO 3. OSCILACIONES DE UNA CUERDA TENSA
Figura 3.1: Ondas estacionarias en la cuerda.
Utilizando las expresiones del movimiento ondulatorio k = 2π
λ y v = λf, donde k y
v son eln´umero de onda y la velocidad de propagaci´on de la onda respectivamente,
se obtiene la siguiente expresi´on para las frecuencias correspondientes a los modos
propios de oscilaci´on de la cuerda:
fn =
nv
2L
.
De la din´amica asociada a las ondas transversales en una cuerda, su velocidad de
propagaci´on a lo largo de la misma est´a dada por:
v =
￿
T
μ
.
Siendo T la tensi´on en lacuerda. La expresi´on para las frecuencias propias queda
en definitiva
fn =
n
2L
￿
T
μ
, (3.3)
donde n = 1 corresponde al modo fundamental:
f1 =
1
2L
￿
T
μ
y n = 2 corresponde al segundo arm´onico, n = 3 al tercero y asi sucesivamente,
siendo cada uno de estos m´ultiplos de la fecuencia fundamental en la forma: f2 =
3.4. MATERIALES 27
Figura 3.2: Sensor de Fuerza
2f1, f3 = 3f1... y as´ı sucesivamente. Tambi´en n es el n´umero de vientres de las
ondas estacionarias. Ver Figura 3.1.
3.4 Materiales
• Sensor de fuerza con su cable
• X plorer GLX con su fuente de alimentaci´on
• Amplificador de potencia con un cable de dos salidas y su fuente de alimentacin
• Vibrador mec´anico
• Cuerda (Longitud L = 263.0±0.1cm, masa m = 9.8726g, error de calibraci´on
de la...