Formulas

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LIMITES
DEFINICION DE LIMITES
∀ e > 0, ∃δ (e) > 0 / ∀x ∈ Df : 0 < x - a < δ ⇒ F ( x) − λ < e

LIMITES LATERALES Lim x→x0+ F(x)=L Lim x→x0- F(x)=L CALCULO DE LIMITE LIMX→X0F(x)=F(x0) EJEMPLOS : Lim x→0 (x2.sen1/x)=0 Lim x→0 sen x x =1 (Lim fundamental o trigon.) (Inf. de Igual Orden) Lim x→∞ sen x x =0 (Inf. X Acotada) Lim x→0 x tg x =1 Lim n→ ∞ n n =1 Lim x→ 0+ (ln x)=-∞ 2 Lim x→ 0 ( x x )=0
2 Lim x→ 0 ( x x )=0

Variables en exponente. Valores absolutos. Cero denominador.

OBTENCION DE e LIM x→ 0 (1+ 1/x )x = e LIM x→ 0 (1+ x )1/x = e

→1→∞ →∞→0 →0→0

CONTINUIDAD
“Toda F(x) polinómica es continua en todo ℜ ...” “Las operaciones algebraicas de F(x) continuas me da, otra continua ...” F(x) es continua Lim x→x0+ F(x)=L Lim x→x0- F(x)=L F(x0) = LPropiedades: ♦ Si F(x) es continua en G(a) y G(x) es continua en “a” => (FoG) (x) es conti. en “a”. ♦ F(x) y H(x) son continuas en x=a => ♦ (F+H)(x) es continua en x=a ♦ (F-H)(x) es continua en x=a ♦ (F*H)(x) es continua en x=a ♦ (F/H)(x) es continua en x=a , si H(a)≠0
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♦ Si F(x) es continua en [a,b] => presenta Máx. y Min. Absolutos en [a,b]. F(x0) ≥ F(x) , ∀x∈[a,b] Máx. Abs. F(x0) ≤ F(x) , ∀ x∈[a,b] Min. Abs. Teorema de Weierstrass: Si F(x) es continua en [a,b] => permanece acotada en [a,b].(If es acotado) Teorema de Bolzano: Si F(x) es continua en [a,b] y F(a).F(b) ∃ c ∈(a,b) / F(c)=0(tiene raíz) Teorema de Valor Medio: Si F(x) es continua en [a,b] y ∃ k ∈ ℜ/ F(a) < k < F(b) =>∃c/F(c)=k F(b) < k < F(a)

ASINTOTAS
A.Vertical : x=a Lim x→ a F(X)=∞A.Horizontal : y=k Lim x→∞ F(x)=K A.Oblicua : y=ax+b Lim x→∞ F(x)= a X Lim x→∞ (F(x)-ax)=b Definición de A.O.: Lim x→∞ [F(x)-yA.O.]= 0

SUCESIONES
Lim x→∞ (an)=L ∈ℜ Lim x→∞ (an)= ∞ Si No Existe Lim x→∞ (an) {an} es C.V. a L {an} es D.V. {an} es Oscilante

LIMITE FINITO (SUCESIONES) Lim n→∞ (an)=L ∈ℜ ∀e > 0 ∃N (e) > 0 ∈ Nat. / n ≥ N ⇒ an − λ < e Propiedades de Sucesiones CV.: Unicidad dellimite. Si {an} es CV => está acotada.(reciproco falso x las oscilantes ) Lim n→∞ (an)=0 y |bn| Lim x→∞ (an.bn)=0 Teorema del sandwich: Si an ≤ cn ≤ bn ∀n y Lim n→∞ (an)=L => Lim n→∞ (cn)=L Lim n→∞ (bn)=L Teorema: Si {an} es monotona y acotada => es CV.
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Criterios de convergencia de sucesiones de terminos positivos : 1) Criterio de D`alambert L < 1 => Limn→∞ (an)=0 {an}>0 ∀n Lim n→∞ an+1 =L L > 1 => Lim n→∞ (an)=+∞ an L = 1 ? (no informa) 2) Criterio de Cauchy Lim n→∞ ( n an )=L L < 1 => Lim n→∞ (an)=0 L > 1 => Lim n→∞ (an)=+∞ L = 1 ? (no informa)

D`alembert => Cauchy (reciproco falso)

DERIVADAS
“El Dominio de la derivada queda limitado por el de la función ...” “Si F(x) es derivable => es continua ...” (reciproco falso) “Las funcionesderivadas no pueden tener discontinuedades evitables ...” “Formulas distintas alrededor de un punto, entonces uso derivadas laterales ...” “Las operaciones algebraicas de F(x) derivables me da, otra derivable ...” Definición * Derivada en un punto * Laterales en puntos frontera * Derivadas de puntos interiores(reemplazo punto en la F´(x))

Función

Definición: Lim x→ a F(x) – F(a) x–a PuntoAnguloso : Limites laterales finitos (∈ ℜ) y distintos en x0. Punto de Inflexión : Limites laterales iguales en x0 (+∞ ó -∞). Punto Cuspidal : Limites laterales opuestos en x0 (+∞ y -∞) ó (-∞ y +∞). Derivada de Compuestas (FoG)´(xo)=F´[G(xo)].G´(xo) Derivada de Inversas (F)´(F(a))= 1 , F´(a) ≠ 0 F´(a) Puntos de NO Derivada, pero F(x) continua en x0

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www.MundoUTN.com.arDerivada del logaritmo (F)(x)= loga x (F)(x)= ln x

(F)´(x)= 1 x . 1 ln a (F)´(x)= 1 x

Derivada Parametrica dy=y´(x)= y´(t) dx x´(t) Recta tangente tg : y – F(x0)= F´(x0).(x-x0) Recta Normal N : y – F(x0)= - 1 .(x-x0) F´(x0) Teorema de Bolzano (Existencia de raíz) “Si F(x) cumple Bolzano y tiene Monotonia Estricta Creciente o Decreciente => una Raíz ...” Si F(x) es continua en [a,b] y, F(a).F(b)...