Fracciones algebraicas

6

NÚMEROS COMPLEJOS

Página 147
REFLEXIONA Y RESUELVE
Extraer fuera de la raíz
■

Saca fuera de la raíz:
a) √–16

b) √–100

a) √–16 = √–1 · 16 = 4√–1

b) √–100 = 10√–1

Potencias de √ –1
■

Calcula las sucesivas potencias de √–1 :
3

2

3

4

2

a) (√–1 ) = (√–1 ) (√–1 ) = …

5

b) (√–1 )

c) (√–1 )

a) (√–1 ) = (√–1 ) (√–1 ) = (–1) · √–1 = – √–1
4
2
2b) (√–1 ) = (√–1 ) (√–1 ) = (–1) · (–1) = 1
5
4
c) (√–1 ) = (√–1 ) · √–1 = 1 · √–1 = √–1

¿Cómo se maneja k · √ –1 ?
■

Simplifica.
a) –2 √–1 + 11 √–1 – 8 √–1 – √–1
b) 5 √–1 + 2 √–1 – 10 √–1 + 3 √–1
c) 8 √–1 +

2
3
1
√–1 –
√–1 – √–1
5
10
2

a) –2 √–1 + 11 √–1 – 8 √–1 – √–1 = 0 · √–1 = 0
b) 5 √–1 + 2 √–1 – 10 √–1 + 3 √–1 = 0
c) 8 √–1 +

(

)

2
3
1
80
4
3
5
38√–1 –
√–1 – √–1 =
√–1 =
√–1
+
–
–
5
10
2
10 10
10 10
5

Unidad 6. Números complejos

1

Expresiones del tipo a + b · √ –1
■

Simplifica las siguientes sumas:
a) (–3 + 5 √–1 ) + (2 – 4 √–1 ) – (6 √–1 )
b) (–5) (5 + √–1

) – 2 (1 – 6 √–1 )

a) (–3 + 5 √–1 ) + (2 – 4 √–1 ) – (6 √–1 ) = –1 – 5 √–1
b) (–5) (5 + √–1 ) – 2 (1 – 6 √–1 ) = –3 – √–1
■

Efectúa las siguientesoperaciones combinadas:
a) 3 (2 – 4 √–1 ) – 6 (4 + 7 √–1 )
b) 8(5 – 3 √–1 ) + 4(– 3 + 2 √–1 )
a) 3 (2 – 4 √–1 ) – 6 (4 + 7 √–1 ) = 6 – 12√–1 – 24 – 42√–1 = –18 – 54√–1
b) 8(5 – 3 √–1 ) + 4(–3 + 2 √–1 ) = 40 – 24√–1 – 12 + 8√–1 = 28 – 16√–1

Multiplicaciones
■

Efectúa las siguientes multiplicaciones:
a) (4 – 3 √–1 ) · √–1

b) (5 + 2 √–1 ) · 8 √–1

c) (5 + 2 √–1 )(7 – 3 √–1 )

d)(5 + 2 √–1 )(5 – 2 √–1 )
2

a) (4 – 3 √–1 ) · √–1 = 4√–1 – 3(√–1 ) = 4√–1 – 3 (–1) = 3 + 4√–1
2

b) (5 + 2 √–1 ) · 8 √–1 = 40√–1 + 16(√–1 ) = –16 + 40√–1
2

c) (5 + 2 √–1 )(7 – 3 √–1 ) = 35 – 15√–1 + 14√–1 – 6(√–1 ) = 35 + 6 – √1 = 41 – √–1
2

d) (5 + 2 √–1 )(5 – 2 √–1 ) = 25 – 10√–1 + 10√–1 – 4(√–1 ) = 25 + 4 = 29

Ecuaciones de segundo grado
■

Resuelve:
a) x 2 + 10x + 29 = 0b) x 2 + 9 = 0
–10 ± √100 – 116 –10 ± √–16 –10 ± 4 √–1
=
=
=
2
2
2
—
x1 = –5 + 2√–1
—
= –5 ± 2√–1
x2 = –5 – 2√–1

a) x 2 + 10x + 29 = 0 8 x =

b) x 2

2

+9=0 8

x2

= –9 8 x = ±√–9 = ±3√–1

—
x1 = 3√–1
—
x2 = –3√–1
Unidad 6. Números complejos

UNIDAD

6

Página 149
1. Representa gráficamente los siguientes números complejos y di cuáles son
reales, cuálesimaginarios y, de estos, cuáles son imaginarios puros:
5 – 3i; 1 + 5 i; –5i; 7; √3 i; 0; –1 – i; –7; 4i
2
4
• Reales: 7, 0 y –7
Imaginarios: 5 – 3i,

1
5
+ i, –5i, √ 3 i, –1 – i, 4i
2
4

Imaginarios puros: –5i, √ 3 i, 4i
• Representación:
4i

—
√ 3i
i

1
5
—+—i
2
4
1
7

–7
–1 – i
5 – 3i
–5i

2. Obtén las soluciones de las siguientes ecuaciones y represéntalas:
a) z2 + 4 = 0

b) z 2 + 6z + 10 = 0

c) 3z 2 + 27 = 0

d) 3z 2 – 27 = 0

2i

± √ –16
± 4i
a) z =
=
= ± 2i
2
2
z1 = 2i, z2 = –2i

b) z =
=

–6 ± √ 36 – 40
–6 ± √ –4
=
=
2
2
–6 ± 2i
= –3 ± i; z1 = –3 – i, z2 = –3 + i
2

Unidad 6. Números complejos

–2i

–3 + i

–3 – i

3

3i

c) z 2 = –9 8 z = ± √ –9 = ±3i
z1 = –3i, z2 = 3i

–3i

d) z 2 = 9 8 z = ±3
z1= –3, z2 = 3

–3

3

3. Representa gráficamente el opuesto y el conjugado de:
a) 3 – 5i

b) 5 + 2i

c) –1 – 2i

d) –2 + 3i

e) 5

f) 0

g) 2i

h) –5i

a) Opuesto: –3 + 5i
–3 + 5i

Conjugado: 3 + 5i

3 + 5i

3 – 5i

b) Opuesto: –5 – 2i
Conjugado: 5 – 2i

5 + 2i

–5 – 2i

4

5 – 2i

Unidad 6. Números complejos

UNIDAD

6

c) Opuesto: 1 + 2i
1 + 2i–1 + 2i

Conjugado: –1 + 2i

–1 – 2i

d) Opuesto: 2 – 3i
–2 + 3i

Conjugado: –2 – 3i

2 – 3i

–2 – 3i

e) Opuesto: –5
Conjugado: 5

–5

5

f) Opuesto: 0
Conjugado: 0

0

g) Opuesto: –2i
Conjugado: –2i

2i

–2i

h) Opuesto: 5i
Conjugado: 5i

5i

–5i

Unidad 6. Números complejos

5

4. Sabemos que i 2 = –1. Calcula i 3, i 4, i 5, i 6, i 20, i 21, i...