Frobenius

Semana 9 - Clase 25

08/02/11

Tema 4: Sistemas y Series

El M´todo de Frobenius e
Para la soluci´n de ecuaciones diferenciales lineales ordinarias alrededor de puntos singulares o regulares se utiliza el m´todo de Frobenius1 . Dada una ecuaci´n diferencial de segundo orden: e o y + F1 (x) y + F2 (x) y = 0 ⇔ y + f1 (x) f2 (x) y=0 y + (x − x0 ) (x − x0 )2 (1)

donde F1 (x) y F2 (x) tienensingularidades regulares en x = x0 y por lo tanto f1 (x) y f2 (x) son anal´ ıticas alrededor de ese punto entonces, la propuesta de soluci´n ser´ una serie de Frobenius o a
∞

y(x) = (x − x0 )m
n=0

an (x − x0 )n

(2)

donde n es entero positivo, pero m puede ser entero positivo (entonces la serie de Frobenius es una serie de Taylor) o entero negativo (entonces la serie de Frobenius esuna serie de Laurent), o un racional. Por lo cual una serie de Frobenius incluye a las serie de Taylor y Laurent. Para hacer las cosas m´s simples supongamos, sin perder generalidad, x0 = 0. Adem´s, como f1 (x) y f2 (x) son a a anal´ ıticas entonces
∞ ∞

f1 (x) =
n=0

bn x

n

y

f2 (x) =
n=0

cn xn

(3)

por lo tanto, la ecuaci´n (1) queda o y + o tambi´n: e x2 y + x
n=0

f1(x) f2 (x) y + y=0 x x2
∞

⇒

x2 y + x f1 (x) y + f2 (x) y = 0
∞

(4)

bn xn y +
n=0

cn xn y = 0

Propondremos entonces la serie de Frobenius como soluci´n de prueba: o
∞

y(x) = x por lo tanto:
∞ ∞

m n=0

an xn

y (x) = mxm−1
n=0

an xn + xm
n=1 ∞

nan xn−1
∞ ∞

y (x) = m (m − 1) xm−2
n=0
1

an xn + 2mxm−1
n=1

nan xn−1 + xm
n=2

n (n − 1) an xn−2Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917) Matem´tico Alem´n famoso por sus contribuciones en Teor´ de a a ıa Grupos y m´todos para resolver ecuaciones diferneciales. e

H´ctor Hern´ndez / Luis N´nez e a u˜

1

Universidad de Los Andes, M´rida e

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Tema 4: Sistemas y Series

sustituyendo en la ecuaci´n diferencial o
∞ ∞ ∞

x2 m (m − 1) xm−2
n=0 ∞ n

anxn + 2mxm−1
∞

nan xn−1 + xm
n=1 ∞ m n=1 n=2 ∞

n (n − 1) an xn−2 +
∞ n m n=0

x
n=0

bn x

mx

m−1 n=0

an x + x

n

nan x

n−1

+
n=0

cn x x

an xn = 0

acomodando algunos t´rminos: e
∞ ∞ ∞

m (m − 1) x
∞ n

m

an x + 2mx
n=0 ∞ m n=0

n

m n=1 ∞

nan x + x nan x
n

n

m n=2

n (n − 1) an xn +
∞

∞

bn x
n=0

mx

an x + x

nm n=1

+
n=0

cn x x

n

m n=0

an xn = 0

podemos ahora sacar como factor com´n a xm , u
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

xm m (m − 1)
n=0

an xn + 2m
n=1

nan xn +
n=2

n (n − 1) an xn +
n=0

bn xn

m
n=0

an xn +
n=1

nan xn +

∞

∞

cn x
n=0

n n=0

an xn = 0

Expandiendo estas series y factorizando para los t´rminos de igual potencia: e {a0 [m (m − 1) + b0 m + c0]} xm + {a1 [m (m + 1) + b0 (m + 1) + c0 ] + a0 [b1 m + c1 ]} xm+1 + {a2 [(m + 2) (m + 1) + b0 (m + 2) + c0 ] + a1 [b1 (m + 1) + c1 ] + a0 [b2 m + c2 ]} xm+2 + {a3 [(m + 3) (m + 2) + b0 (m + 3) + c0 ] + a2 [b1 (m + 2) + c1 ] + a1 [b2 (m + 1) + c2 ] + a0 [b3 m + c3 ]} xm+3 + . . . . . . + · · · + {an [(m + n) (m + n − 1) + b0 (m + n) + c0 ] + an−1 [b1 (m + n − 1) + c1 ] + an−2 [b2 (m + n − 2) + c2] + an−3 [b3 (m + n − 3) + c3 ] + + · · · + a1 [bn−1 (m + 1) + cn−1 ] + a0 [bn m + cn ]} xm+n = 0 (5) Consideremos por un momento el coeficiente de a0 que aparece en la primera l´ ınea, lo denotaremos por µ(m) µ(m) = m (m − 1) + b0 m + c0 H´ctor Hern´ndez / Luis N´nez e a u˜ 2 Universidad de Los Andes, M´rida e

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podemos notar quepara el coeficiente de a1 en la segunda l´ ınea tenemos µ(m + 1) = m (m + 1) + b0 (m + 1) + c0 de manera que: para a2 para a3 . . . para an ⇒ ⇒ . . . ⇒ µ(m + 2) = (m + 2) (m + 1) + b0 (m + 2) + c0 µ(m + 3) = (m + 3) (m + 2) + b0 (m + 3) + c0 . . . . . . µ(m + n) = (m + n) (m + n − 1) + b0 (m + n) + c0

Esto nos permite reacomodar a´n m´s nuestros c´lculos u a a
∞ n−1

a0 µ(m)xm +
n=1

an...