Funciones Acotadas

Juan Antonio González Mota

Profesor de Matemáticas

del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Una función es simétrica respecto del origen O(0, 0) cuando todo punto de la gráfica de f tiene su simétrico respecto de O en la misma gráfica. Si P( x, f ( x)) es un punto de la gráfica, su simétrico P '( x ', f ( x ')) pertenece también a la mismagráfica: Si consideramos la siguiente figura, los puntos P y P ' son simétricos respecto del origen y sus coordenadas ⎧x ' = −x verifican que ⎨ ⎩ f ( x ') = − f ( x) Por tanto, Una función es simétrica respecto del origen O(0, 0) cuando para todo punto x del dominio D se tiene que
− x pertenece a D y

P ( x, f ( x))

−x
− f ( x) P '( x ', f ( x '))

f ( x) x

f (− x) = − f ( x) .

Lasfunciones simétricas respecto del origen reciben el nombre de FUNCIONES IMPARES. Este nombre proviene de que en el caso de que se trate de funciones polinómicas simétricas respecto del origen, éstas tienen todos sus exponentes impares. Ejemplos de funciones simétricas respecto del origen: La función f ( x) =

1 x

ya que f (− x) =

1 1 = − = − f ( x) −x x

Su gráfica como sabemos es(hipérbola equilátera) :

1 f ( x) = x

f ( x) = x 3

La función f ( x) = x 3 ya que f (− x) = (− x)3 = − x 3 = − f ( x) La función f ( x) = x⋅ | x | ya que f (− x) = (− x)⋅ | − x | = − x⋅ | x | = − f ( x)

FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMÉTRICAS, PERIÓDICAS.

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Juan Antonio González Mota

Profesor de Matemáticas

del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

SIMETRIA RESPECTO DEL EJEDE ORDENADAS (OY). FUNCIONES PARES: Sea f : D → . Se dice que f es simétrica respecto del eje de ordenadas (OY) cuando todo punto de la gráfica de f tiene su simétrico respecto de OY en la misma gráfica. Si P( x, f ( x)) es un punto de la gráfica, su simétrico P '( x ', f ( x ')) pertenece también a la misma gráfica: Si consideramos la siguiente figura, los puntos P y P ' son simétricos respectodel eje OY y sus coordenadas verifican que ⎧x ' = x ⎨ ⎩ f ( x ') = f ( x) Una función es simétrica respecto del eje de ordenadas (OY) cuando para todo punto x del dominio D se tiene que − x pertenece a D y

P '( x ', f ( x '))

P ( x, f ( x))

f ( x) f ( x)
−x

x

f ( − x) = f ( x ) .
Geométricamente significa que si doblamos el papel por el eje OY, las dos partes de la gráficacoinciden. Estas funciones reciben también el nombre de FUNCIONES PARES. Este nombre proviene de que en el caso de que se trate de funciones polinómicas simétricas respecto del eje OY, éstas tienen todos sus exponentes pares. Ejemplos de funciones simétricas respecto del eje de ordenadas: La función cuadrática f ( x) = x 2 ya que f (− x) = (− x) 2 = x 2 = f ( x) . La función valor absoluto

f ( x) = | x| ya que f (− x) =| − x | = | x | = f ( x)

La función f ( x) = x 2 − | x | ya que f (− x) = (− x) 2 − | − x | = x 2 − | x | = f ( x) Sus respectivas gráficas serían:

f ( x) = x 2

f ( x) = | x |

f ( x) = x 2 − | x |

FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMÉTRICAS, PERIÓDICAS.

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Juan Antonio González Mota

Profesor de Matemáticas

del Colegio Juan XIII Zaidín de GranadaFUNCIÓN PERIÓDICA: Sea f : D → . Se dice que f es periódica si existe un número real, no nulo, T, llamado PERIODO, tal que para todo x ∈ D , x + T ∈ D y se verifica que f ( x + T ) = f ( x) . De la propia definición se deduce que si T es un periodo de la función f, también lo es 2T, 3T,..., es decir sus periodos son múltiplos enteros del menor periodo positivo T, que recibe el nombre de periodoprincipal o propio. El conocimiento de la gráfica de una función en un periodo nos permite construir por periodicidad toda la gráfica. Ejemplos de funciones periódicas: Todas las funciones circulares: Las funciones seno y coseno tienen por periodo T = 2π , mientras que la función tangente y la cotangente tienen por periodo T = π . La función decimal o mantisa: su periodo principal es 1.

FUNCIONES...