Funciones aleatorias

1. Funciones de variables aleatorias
Sea X una variable aleatoria definida sobre un espacio de probabilidad (Ω, A, P). Sea
g : D ⊆ R → R una funci´on cuyo dominio D contiene al rango de X,
X(Ω) :={x(ω) : ω ∈ Ω}.
Entonces Y = g(X) est´a bien definida y ser´a una variable aleatoria si y s´olo si
{ω ∈ Ω : g(X) ≤ y} ∈ A para todo y ∈ R. (1)
En otras palabras, si g
−1
((−∞, y]) := {x ∈ R : g(x)≤ y}, el conjunto {X ∈ g
−1
(−∞, y]}
debe tener asignada probabilidad. Este es t´ıpicamente el caso. Por ejemplo, si X es discreta,
cualquier funci´on g cuyo dominio contenga al rango de Xsatisface (1). Si X no es discreta,
cualquier funci´on g seccionalmente continua cuyo dominio contenga al rango de X satisface
(1).
1.1. M´etodo b´asico: eventos equivalentes
Si queremos hallar lafunci´on de distribuci´on de Y = g(X) tenemos que calcular
FY (y) = P(Y ≤ y) = P(g(X) ≤ y) = P(X ∈ g
−1
(−∞, y]). (2)
Los siguientes ejemplos ilustran el m´etodo b´asico de c´omo hacerlo.
2Ejemplo 1.1(Del p´endulo a la distribuci´on de Cauchy). Sea Θ el ´angulo de un p´endulo
medido desde la vertical cuyo extremo superior se encuentra sostenido del punto (0,1). Sea
(X,0) el punto deintersecci´on de la recta que contiene al p´endulo y el eje x -ver la Figura
1-. Trigonometr´ıa mediante, sabemos que
0 X
1
Θ
Figura 1: Pendulo.
X = tan Θ
Si el ´angulo Θ es una variable aleatoria condistribuci´on uniforme sobre el intervalo
(−π/2, π/2), cu´al es la distribuci´on de X?
Primero observamos que para cada θ ∈ (−π/2, π/2) tenemos que
P(Θ ≤ θ) = θ − (−π/2)
π/2 − (−π/2) =
θ + π/2
π
=1
2
+
θ
π
.
De esto se deduce que
P(X ≤ x) = P(tan Θ ≤ x)
= P(Θ ≤ arctan x) = 1
2
+
1
π
arctan x,
y derivando obtenemos que
fX(x) = 1
π(1 + x
2
)
.
Teorema 1.2. Sea X una variablealeatoria continua con funci´on de distribuci´on creciente.
Entonces, Y = FX(X) ∼ U(0,1).
Demostraci´on. El an´alisis se reduce a examinar el comportamiento de la funci´on de
distribuci´on de Y...