Funciones De Variables Variables

UNIDAD 4 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Competencia a desarrollar:
Analizar de manera formal campos escalares y vectores.
Calcular derivadas parciales, direccionales, determinar gradientes, planos tangente, y valores extremos.
Resolver problemas que involucran varias variables.

4.1.- Definición de una función de varias variables.

Sea D un conjunto de pares ordenados de númerosreales. Si cada par ordenado. (X,Y) de D le corresponde un numero real f(X,Y) entonces se dice que f es la función de X y de Y . El conjunto de D es dominio de f y el correspondiente conjunto de valores de f(X,Y) es el recorrido de f.
Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si cada par ordenado. (X,Y) de D le corresponde un numero real f(X,Y) entonces se dice que f es la función deX y de Y . El conjunto de D es dominio de f y el correspondiente conjunto de valores de f(X,Y) es el recorrido de f.
Función De Varias Variables.

Función De Varias Variables.

Por ejemplo.-
Z=f(x,y) W=f(x,y,z)
Z= x2 y+2x+3y W=3x4 y2+ 6xz-3xyz
Z= cos(3xy)+ e2xy
Para dos variablesPara tres variables

Otros ejemplos:

Trabajo
w=F.D f(F,D)

Volumen De Un Cilindro
V=πr2h f(r,h)

A=l2 A=p.a2

Limites de las funciones de varias variables.
Sea f una función de dos variables definida, con la posible excepción (x0 ,y0) en un disco abierto centrado en (x0 ,y0) y sea L un numero real.
Entonces:limx,y→(x0 ,y0)fx,y=L
Un punto (x0 ,y0) de la región plana R es un punto interior de R si existe un f entorno alrededor de (x0 ,y0) que pertenece a totalmente a R

limx,y→(1,2) 5x2yx2+y2=512(2)(1)2+(2)2=105=2

El límite es 2

Continuidad:
Una función f de dos variables es continua en un punto (x0 ,y0) de una región abierta R si f(x0 ,y0) está definida y es igual al límite de f(x,y)Cuando (x,y) tiende a (x0 ,y0).

Por ejemplo:
limx,y→(0,0)5x2yx2+y2= 00
El límite no existe.
(NO ES UNA FUNCION CONTINUAL)


Derivadas Parciales
Si Z=f(x,y), entonces las derivadas parciales primeras de f con respecto a X y a Y son funciones fx y fy definidas mediante:

fxx,y=lim∆x→∅fx+∆x,y-f(x,y)∆x

fyx,y=lim∆x→∅fx,y+∆y-f(x,y)∆y

* Siempre y cuando el límite exista.Entonces:
fx=> Consideramos y= Constante y derivamos con respecto a x.

fy=> Consideramos x= Constante y derivamos con respecto a y.

Si Z=f(x,y)
Entonces:
fx=∂z∂x= ∂f(x,y)∂x

fy=∂z∂y= ∂f(x,y)∂y
Y se llaman derivadas parciales.

Por ejemplo hallar.
∂z∂x y ∂z∂y

Para Z=3x-x2-y2+2x3y

∂z∂x=∂3x-x2-y2+2x3y∂x

∂z∂x=∂3x∂x-∂x2∂x-∂y2∂x+∂2x3y∂x
∂z∂x=3∂x∂x-∂x2∂x-∂y2∂x+2y∂x3∂x∂z∂x=3-2x-0+2y(3x2)
∂z∂x=3-2+6x2y

∂z∂y=∂(3x-x2-y2+2x3y∂y
∂z∂y=∂(3x)∂y-∂(x2)∂y-∂(y2)∂y+∂(2x3y)∂y
∂z∂y=3∂(x)∂y-∂(x2)∂y-∂(y2)∂y+2x3∂(y)∂y
∂z∂y=∅+∅-2y+2x3(1)
∂z∂y=-2y+2y3

Ejercicio:

w=3xy2+3x2yz4-yz

∂w∂x;∂w∂y;∂w∂z

∂w∂x=∂(3xy2)∂x+∂3x2yz4∂x-∂(yz)∂x
∂w∂x=3y2∂(x)∂x+3yz4∂(x2)∂x-∂(yz)∂x
∂w∂x=3y2+3yz42x-∅
∂w∂x=3y2+6xyz4

∂w∂y=∂(3xy2)∂y+∂(3x2yz4)∂4-∂(yz)∂y∂w∂y=3x∂(y2)∂y+3x2z4∂(y)∂y-z∂(y)∂y
∂w∂y=3x2y+3x2z41-z(1)
∂w∂y=6xy+3x2z4-z

∂w∂z=∂(3xy2)∂z+∂(3x2yz4)∂z-∂(yz)∂z
∂w∂z=∂(3xy2)∂z+3x2y∂(z4)∂z-y∂(z)∂z
∂w∂z=∅+3x2y4z3-y(1)
∂w∂z=12x2yz3-y

HALLAR ∂z∂x y ∂z∂x
Z=xex2y

formula ∂u.v∂x= u∂v∂x+v∂u∂x

∂z∂x=x∂ex2y∂xex2y ∂x∂x
∂z∂x=x.ex2y∂(x2y)∂x+ex2y(1)
∂z∂x=x.ex2yy∂x2∂x+ex2y
∂z∂x=x.ex2y.y2x+ex2y
∂z∂x=x.ex2y.2xy+ex2y
∂z∂x=2x2yex2y+ex2y

∂z∂y=∂xex2y∂y
∂z∂y=x∂xex2y∂y∂z∂y=xex2y∂(x2y)∂y
∂z∂y=xex2y.x2∂y∂y
∂z∂y=x.ex2y.x2(1)
∂z∂y=x3ex2y

Ejercicio:
z=x2+y2
z=(x2+y2)12
∂z∂x=∂(x2+y2)12∂x
formula dvndxnvn-1 dvdx
∂z∂x=12x2+y212-22 ∂(x2+y2)∂x
∂z∂x=12(x2+y2)-12 [∂x2∂x+∂y2∂x]
∂z∂x=12x2+y2-12(2x)
∂z∂z= 2x2x2+y2
∂z∂x=xx2+y2

∂z∂y=∂(x2+y2)12∂y
∂z∂y=12x2+y212-22 ∂(x2+y2)∂x

∂z∂y=12(x2+y2)-12 ∂x2∂y+∂y2∂y

∂z∂y=12(x2+y2)-12 (2y)
∂z∂y=2y2x2+y2...