Funciones De Varias Variables

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Definiciones:
Función de una variable: Una función de una variable es una correspondencia entre dos magnitudes.
Por ejemplo, el espacio y el tiempo.

f: D
f: X Y .∙. Y = f(x)

y
La gráfica de una función de una variable es una curva en el plano.
x

Para que una curva represente una función no puede tener dos puntos en la mismavertical, es decir, para que una correspondencia entre dos magnitudes sea una función la imagen tiene que ser única. Para poder aplicar las propiedades de las punciones a las correspondencias que no lo son hay que descomponerlas en funciones. Por ejemplo la circunferencia x2+ y2=1 no es función porque para cada valor de una de las variables hay dos valores de la otra. En efecto tenemos:
x2+ y2=1→ y2=1- x2 → y= ± 1- x2
y1= + 1-x2 ; y2= - 1-x2
x2+ y2=1
y =+1-x2
y =-1-x2



FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES
Una función de varias variables es una correspondencia entre más de dos magnitudes.
a= 12bh
a= f(b, h); b>0, h>0.
f: D 2→
f: x, y→Z.∙. Z= f(x, y)

h
Ejemplo: Si expresamos el área de un triangulo en funciones dela base y de la altura tendremos una función de dos variables.
b

Z
V=xyz → V= f(x,y,z), x>0, y>0, z>0.
f: D 3→
f: (x, y, z)→V, V= f(x, y, z).

Ejemplo: Si expresamos el volumen de un paralelepípedo rectangular (caja de zapatos) en funciones de sus aristas, tendremos una función de tres variables.
YX
A la magnitud que se despeja se le llama variable dependiente y a las otras variables independientes.
A las funciones de varias variables también se les llama Campos Escalares.
Igual que en una variable, para que la correspondencia sea función la imagen tiene que ser única. Para poder aplicar las propiedades de las funciones o la correspondencia que no lo son, hay que descomponer enfunciones.
Y
Z
Ejemplo: La esfera x2+ y2+ z2=1, no es función ya que si le damos valores a dos de las variables obtenemos dos valores de la tercera.
X
x2+ y2+ z2=1→z2=1-x2- y2
Z=±1-x2- y2 (No es función)
Z=+1-x2- y2 (Sí es función)
Z=-1-x2- y2 (Sí es función)

FUNCIONES VECTORIALES (CAMPOS VECTORIALES)
Una función se dice que es vectorial cuando el resultado no es un número sino unvector, es decir, una pareja de números o una terna de números.
Ejemplo: Si las ecuaciones paramétricas de una curva son las siguientes:
X= 1 – t
Y= 2 + 3t
Z= 1 + t
Para cada valor del parámetro tiempo obtenemos las tres coordenadas del punto de situación:
x=xt
y=yt
z=z(t)
f: D → 3

f:t→(x, y, z)

También se pueden definir funciones vectoriales que dependan de varias variables. Porejemplo:
f: D 2→ 3
f: (x, y)→(xy, x2y, nx)
n=m=1 Función de una variable
n>1
m=1
n cualquiera
m>1

Campo escalar

Campo vectorial
f: D n→ m
DOMINIO DE UNA FUNCION DE VARIAS VARIABLES
El dominio de una función se define como el conjunto de puntos que tienen imagen.
En la práctica el dominio de una función de varias variables viene determinadopor el contexto del problema.
En general se entiende que el dominio viene implícito en la propia formula y queda determinado por todos aquellos valores para los cuales tiene sentido aplicar la formula que define la función (si el dominio es más pequeño hay que indicarlo). Por ejemplo, si definimos la función a= 12xy, el dominio seria cualquier pareja de umeros reales (x, y), ahora bien, si queremosque esa función represente el área de un triangulo, los valores x e y tienen que ser positivos. Por lo tanto dicha restricción habrá que indicarla junto con la formula a= 12xy, x>0, y>0. Si no se indica ninguna restricción estamos suponiendo que el dominio es el máximo permitido por la fórmula.
El dominio de una función de varias variables f(x, y) será una región del plano y el dominio...