Funciones derivadas

Funciones Creciente y decreciente

Sea F una función definida en un intervalo I. Diremos que:
1. F es creciente en I si, para cualquier par de puntos, X1 y X2 en I, se cumple:
X1 < X2 ( F(X1) < F(X2)

2. F es decreciente en I si, para cualquiera par de puntos, X1 y X2 en I, se cumple:
X1 < X2 ( F(X1) > F(X2)

F es monótona en I si F es bien creciente o decreciente en I.[pic]
Función creciente.

[pic]
Función decreciente.

Ejemplos:

1) [pic]
La función f(x) = 2x + 4 es una función creciente en los números reales.
2) [pic]
La función g(x) = -x3 es una función decreciente en los números reales.

Criterio De Monotonía

Sea F una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b).1. Si F´ (x) > 0 en todo punto x de (a, b), entonces F es creciente en [a, b].
2. si F´(x) < 0 en todo los puntos de (a, b), entonces F es decreciente en [a, b].

Ejemplos:

1. Analice la monotonía de [pic]
SOLUCIÓN:
De acuerdo al teorema anterior para determinar los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento
Analizamos la primera derivada de f. Es decir,[pic]
El asunto es determinar en que intervalo para x esta derivada tiene valores positivos y en qué intervalo tiene
Valores negativos, para lo cual factorizamos f ‘(x) = 4(x – 1) se observa que:

[pic]

2. Analice la monotonía de [pic]
Analizando la primera derivada [pic]
En la forma factorizada [pic] se observa que:
[pic]

Teorema De Rolle

Sea F una función tal que:
1. Fes continua en el intervalo cerrado [a, b].
2. F es diferenciable en el intervalo abierto (a, b).
3. F (a) = F (b) = 0.

Entonces existe c pertenece (a, b) tal que F´(c) = 0

Falta Grafica

Geométricamente, este teorema dice que, si el grafico de una función continua cruza el eje X en dos puntos y tiene una tangente en todo punto entre estos dos, entonces debe al menos unatangente horizontal en un punto intermedio.

Ejemplos 1

1. ¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = |x − 1| en el intervalo [0, 2]?
[pic]
La función es continua en [0, 2].
No es aplicable el teorema de Rolle porque la solución no es derivable en el punto x = 1.
[pic]
[pic]

Ejemplo 2:

Verificar el teorema de Rolle para f(x)=x 2+1 en el intervalo cerrado [-1,1].Primero sabemos que la función, con dominio todos los números reales, y derivable en todo punto.

[pic]
la derivada de esta función es:  f´(x)=2x

lo que nos conduce a obtener la posición en la que f´(x)=0.

f´(x)=2x=0    entonces x=0 lo cual indica que la función tiene un máximo o un mínimo en dicho intervalo.

El presente teorema permite realizar una generalización del teorema de Rolle.Como se había mencionado el teorema de Rolle garantiza que si el grafico de una cuerda es horizontal entonces la función tiene una derivada a paralela al eje de las x´s.

Teorema Del Valor Medio
Sea F una función tal que:
1. f es continua en el intervalo cerrado [a, b].
2. f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b). entonces existe c pertenece (a, b) tal que f(b) – f (a) = F’ (c) (b– a)
La conclusión del teorema del valor medio también puede escribirse a así:
F(b) – f (a) sobre b – a = f ‘ (c)
Pero f(b) – f(a) sobre b – a es la pendiente de la recta que pasa por los puntos P1 = (a, f(a)) y P2 = (b, f(b)) y f ‘ (c) es la pendiente de la tangente en el punto (c, f(c)).
|[pic] |

Luego, el teorema delvalor medio nos dice que, si el grafico de una función continua tienen una tangente en cada punto entre a y b, entonces la tangente en algún punto entre a y b es paralela a la recta que pasa por y P1 = (a, f(a)) y P2 = (b, f(b)).
Ejemplos:
[pic][pic]
[pic]
[pic]

[pic][pic]
[pic]
[pic]
Teorema De La Constante
Sea f una continua en un intervalo I.
F ‘ (x) = 0, x e I f(x) = C, x...