Funciones hiperbolicas
Páginas: 5 (1150 palabras)
Publicado: 17 de septiembre de 2012
FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Introducción
En este capítulo consideraremos ciertas combinaciones especiales de ℮^x y ℮^-x llamadas funciones hiperbólicas. Estudiamos estas funciones por dos razones. La primera es que se utilizan para resolver ciertos problemas de ingeniería. La tensión en cualquier punto de un cable colgante, tal como una línea de conducción eléctrica suspendida en sus extremos,se calcula mediante funciones hiperbólicas. Las funciones hiperbólicas sirven también para describir el movimiento ondulatorio de los líquidos y los sólidos elásticos.
Una segunda razón para el estudio de las funciones hiperbólicas es su utilidad en la resolución de las ecuaciones diferenciales que surgen en física e ingeniería.
DEFINICIÓN
Un círculo unitario con centro en el origen sigue lafórmula x² + y² = 1 ; un punto dado por el par ordenado (x,y) se puede representar como función de un ángulo t de la siguiente manera (x,y) = (cos t, sen t) . De igual manera, una hipérbola unitaria con centro en el origen sigue la fórmula x² - y² =1; un punto dado por el par ordenado (x,y) se puede representar como función del ángulo t de la siguiente manera (cosh t,senh t). Estas funcionesse denominan funciones trigonométricas hiperbólicas, en particular, coseno hiperbólico y seno hiperbólico.
Las funciones trigonométricas hiperbólicas presentan propiedades análogas a las de las funciones trigonométricas o circulares. La función y=sen h (x) se define como senh(x)= ℮^x - ℮^-x/2 , mientras que la función y= cos h (x) es cos h(x)= ℮^x + ℮^- x/2 .
Al igual que lasfunciones trigonométricas circulares, en las funciones trigonométricas hiperbólicas se cumplen las siguientes identidades fundamentales.
Demostración
Ejemplo 1.
Demostrar que
1
x
senh
x
cosh
2
2
.
Grafica de las funciones hiperbólicas
Sea la función
Las intersecciones se pueden encontrar igualando la función a cero
Lafunción seno hiperbólico tiene una sola raíz en x=0. Para obtener los puntos críticos, se iguala a cero la derivada de la función:
por lo tanto, no hay puntos críticos. Es interesante notar que la derivada de la función senh(x) es la función cosh(x).
1)
2)
3)
4)
5)
6)Identidades Para Las Funciones Hiperbólicas
1. 2.
3. 4. 4.
5. 6.
Más Identidades:
Ejemplos:
Verifique las siguientes identidades
1.
2.
3.
Derivadasde las Funciones Hiperbólicas Directas
Formulas:
Demostraciones
Demostración:
* Sólo se considerará el caso en el que U= x ya que U=g(x) se determina aplicando la regla de la cadena
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Ejemplos
* Ejemplos : Calcule la derivada de las funciones dadas.
1.
2.
3.
4.
5.
Integrales de las Funciones HiperbólicasEjemplos de la aplicación de integrales de Funciones Hiperbólicas
1. 2.3. 4.
SIGNIFICADO GEOMETRICO DEL RADIAN HIPERBOLICO
Objetivo: Encontrar el significado geometrico de la variable u el las ecuciones x= coshu , y = sinhu al relacionar con la hiperbola unidad(...
Introducción
En este capítulo consideraremos ciertas combinaciones especiales de ℮^x y ℮^-x llamadas funciones hiperbólicas. Estudiamos estas funciones por dos razones. La primera es que se utilizan para resolver ciertos problemas de ingeniería. La tensión en cualquier punto de un cable colgante, tal como una línea de conducción eléctrica suspendida en sus extremos,se calcula mediante funciones hiperbólicas. Las funciones hiperbólicas sirven también para describir el movimiento ondulatorio de los líquidos y los sólidos elásticos.
Una segunda razón para el estudio de las funciones hiperbólicas es su utilidad en la resolución de las ecuaciones diferenciales que surgen en física e ingeniería.
DEFINICIÓN
Un círculo unitario con centro en el origen sigue lafórmula x² + y² = 1 ; un punto dado por el par ordenado (x,y) se puede representar como función de un ángulo t de la siguiente manera (x,y) = (cos t, sen t) . De igual manera, una hipérbola unitaria con centro en el origen sigue la fórmula x² - y² =1; un punto dado por el par ordenado (x,y) se puede representar como función del ángulo t de la siguiente manera (cosh t,senh t). Estas funcionesse denominan funciones trigonométricas hiperbólicas, en particular, coseno hiperbólico y seno hiperbólico.
Las funciones trigonométricas hiperbólicas presentan propiedades análogas a las de las funciones trigonométricas o circulares. La función y=sen h (x) se define como senh(x)= ℮^x - ℮^-x/2 , mientras que la función y= cos h (x) es cos h(x)= ℮^x + ℮^- x/2 .
Al igual que lasfunciones trigonométricas circulares, en las funciones trigonométricas hiperbólicas se cumplen las siguientes identidades fundamentales.
Demostración
Ejemplo 1.
Demostrar que
1
x
senh
x
cosh
2
2
.
Grafica de las funciones hiperbólicas
Sea la función
Las intersecciones se pueden encontrar igualando la función a cero
Lafunción seno hiperbólico tiene una sola raíz en x=0. Para obtener los puntos críticos, se iguala a cero la derivada de la función:
por lo tanto, no hay puntos críticos. Es interesante notar que la derivada de la función senh(x) es la función cosh(x).
1)
2)
3)
4)
5)
6)Identidades Para Las Funciones Hiperbólicas
1. 2.
3. 4. 4.
5. 6.
Más Identidades:
Ejemplos:
Verifique las siguientes identidades
1.
2.
3.
Derivadasde las Funciones Hiperbólicas Directas
Formulas:
Demostraciones
Demostración:
* Sólo se considerará el caso en el que U= x ya que U=g(x) se determina aplicando la regla de la cadena
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Ejemplos
* Ejemplos : Calcule la derivada de las funciones dadas.
1.
2.
3.
4.
5.
Integrales de las Funciones HiperbólicasEjemplos de la aplicación de integrales de Funciones Hiperbólicas
1. 2.3. 4.
SIGNIFICADO GEOMETRICO DEL RADIAN HIPERBOLICO
Objetivo: Encontrar el significado geometrico de la variable u el las ecuciones x= coshu , y = sinhu al relacionar con la hiperbola unidad(...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.