Funciones_homogeneas Teoría Simplificada

FUNCIONES HOMOGÉNEAS
DEFINICIÓN. Sea f : D ⊂ IR n → IR , D abierto. Se dice que f es una función
homogénea de grado m si: ∀x ∈ D y ∀t > 0 / t x ∈ D se verifica que f (tx ) = t m f ( x ) .
Al nº realm se le denomina grado de homogeneidad.
INTERPRETACIÓN. APLICACIONES ECONÓMICAS.
Sea f una función homogénea de grado m > 0 , entonces:
• Si m=1, la función varía en la misma proporción que lasvariables independientes.
• Si m>1, la función varía en mayor proporción que las variables independientes.
• Si m<1, la función varía en menor proporción que las variables independientes.
Como aplicación delas funciones homogéneas a la Economía nos referiremos a las
funciones de producción.
Sea Q = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) una función de producción homogénea de grado m . En
consecuencia , se verifica f(tx1 , tx2 ,..., txn ) = t m f ( x1 , x2 ,..., xn ) . Esto es, al variar en la
misma proporción t todos los factores productivos, el producto varía en la proporción
tm.

• Si m=1, el producto varíaen la misma proporción que lo hacen los factores
productivos; la función posee rendimientos constantes a escala .
• Si m>1, el producto varía en mayor proporción que lo hacen los factores
productivos;la función posee rendimientos crecientes a escala .
• Si m<1, el producto varía en menor proporción que lo hacen los factores
productivos; la función posee rendimientos decrecientes a escala .PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES HOMOGÉNEAS.
1.- Sea H (m) = { f : D ⊆ IR n → IR / f es homogénea de grado m en D} .
a) Si f , g ∈ H (m) entonces f + g ∈ H (m)
b) Si f ∈ H (m) y λ ∈ IR entonces λ f ∈ H (m)Demostración:
a) ( f + g )(tx ) = f (tx ) + g (tx ) = t m f ( x ) + t m g ( x ) = t m ( f + g ) ( x ) ⇒ f + g ∈ H (m)
b) (λ f )(tx ) = λ f (tx ) = λ t m f ( x ) = t m (λ f ) ( x ) ⇒ λ f ∈ H (m)

2.- a) Sif es homogénea de grado m y g es homogénea de grado n en D, entonces f.g es
homogénea de grado m+n.
b) Bajo las condiciones anteriores, si g ( x ) ≠ 0 ∀ x ∈ D , entonces f/g es homogénea
de grado...