Funciones varias variables

Funciones de varias variables II

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES II
Autores: Paco Martínez (jmartinezbos@uoc.edu), Patrici Molinàs (pmolinas@uoc.edu).

ESQUEMA DE CONTENIDOS

________________________

Conceptos

Ejemplos

Funciones de varias variables II

Aritmética Derivadas Regla de la cadena Extremos

Direccionales

Puntos de sillas

Parciales

Matriz Hessiana

VectorGradiente

Proyecto e-Math Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)

1

Funciones de varias variables II

INTRODUCCIÓN

___________________

Este Mathblock está dedicado a extender a funciones de más de una variable los conceptos de derivabilidad, regla de la cadena y extremos que ya hemos visto en una dimensión en bloques anteriores. Ya hemos visto enel block anterior ejemplos de magnitudes que se describen mediante funciones de varias variables y sus representaciones en tres dimensiones. También hemos introducido nociones topológicas necesarias para definir el concepto de distancia, que nos permite definir bolas, entornos, conjuntos abiertos, conjuntos cerrados, conjuntos compactos y puntos de acumulación y con todo ello los conceptos delímite y continuidad. Nos queda por ver la derivabilidad y sus aplicaciones. Después de introducir el concepto de derivadas parciales de orden superior a 1, estudiaremos el carácter de los extremos locales de una función (máximos, mínimos y puntos silla) a partir de la matriz de las derivadas parciales segundas o matriz hessiana.

OBJETIVOS
1. 2. 3. 4. 5.

________________________

Entender laextensión de los conceptos de diferenciación y regla de la cadena para funciones de varias variables. Conocer los conceptos de derivada direccional y derivada parcial. Utilizar la regla de la cadena para diferenciar funciones compuestas. Aprender a encontrar de manera analítica la solución de problemas de extremos. Aplicar correctamente el criterio de las derivadas parciales segundas.CONOCIMIENTOS PREVIOS

___________________________________

Para poder seguir con éxito esta unidad es recomendable haberse leído los siguientes Mathblocks: Uso básico del Mathcad, Funciones de una variable, Límites de funciones, Continuidad, Derivación, Estudio local y representación gráfica en 2D y Funciones de varias variables I.

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

______________________________Definición de derivabilidad en varias variables.
Dada una función f(x), un punto x0 = (x01, x02,..., x0n) y un vector director v = (v1,v2,...,vn), se define la derivada direccional de f en x0 y en la dirección v como:

Proyecto e-Math Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)

2

Funciones de varias variables II

f ( x 0 + t ⋅ v) − f ( x 0 ) f ( x ) = lim = t→0 t
' v 0 0 0 0 0 f ( x10 + t ⋅ v1 , x 2 + t ⋅ v 2 ,..., x n + t ⋅ v n ) − f ( x10 , x 2 ,..., x n ) lim t →0 t

La derivada parcial de una función f en un punto x0 = (x01, x02,..., x0n) y respecto a la i-ésima componente es la derivada direccional en el punto y en la dirección del vector

ei = (0, L ,0, 1,0, L,0) . La derivada parcial se denota de las siguientes maneras: f e′i ( x 0 ) = Di f (x 0 ) = ∂f (x0 ) ∂xi

i)

PROPIEDAD: Si las derivadas parciales existen y son continuas, entonces la función inicial f es continua. El vector gradiente de una función real f en un determinado punto x es el vector formado por todas las derivadas parciales:

 ∂f  ∂f ∂f ∇f ( x ) =   ∂x ( x), ∂x ( x),..., ∂x ( x)   2 n  1 
Ejemplo: Veamos el vector gradiente de la función
2 2

xy .También calcularemos en qué x + y2
2

puntos de la circunferencia x + y = 1 , el módulo de dicho vector es máximo y mínimo. Solución: Las componentes x y y del gradiente vienen dadas por:

(∇f )x

=

∂  xy  ∂x  x 2 + y 2 
∂ = ∂y

 y (− x 2 + y 2 ) =  (x 2 + y 2 )2 
 x x2 − y2  = 2  x2 + y2 

(∇ f ) y

 xy   x2 + y2 

(

(

)

)

Así pues el gradiente...