Funciones vectoriales matriciales
atica Aplicada, Facultad de Inform´atica, UPM
1.
EDO Sistemas Lineales
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Funciones matriciales. Matriz exponencial
1.1.
Funciones vectoriales
Sea el cuerpo IK que puede ser C
I o´ IR y sea I ⊂ IR un intervalo. Entonces C 0 (I, IKn )
designar´a al conjunto de todas las funciones definidas en I y con valores en IKn que sean
continuas. O sea,
C 0 (I, IKn ) = {X = (x1 , . . . , xn)T : xi : I −→ IK continua∀i, 1 ≤ i ≤ n}.
C 1 (I, IKn ) denotar´a al conjunto de todas las funciones vectoriales de I a IKn diferenciables
con continuidad. As´ı,
C 1 (I, IKn ) = {X = (x1 , . . . , xn )T : ∃ xi : I −→ IK continua ∀i, 1 ≤ i ≤ n}.
Es inmediato comprobar que estos conjuntos tienen estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo IK con las operaciones suma de funciones vectoriales, (X+ Y )(t) = X(t) + Y (t),
y producto por escalares, (λX)(t) = λX(t).
1.2.
Funciones matriciales
Denotamos por M(n, IK) al espacio vectorial sobre IK de dimensi´on n2 de todas
las matrices n × n de elementos de IK.
Consideramos una funci´on
A : IR −→ M(n, IK)
t
A(t) = (aij (t))1≤i,j≤n
Diremos que A(t) es continua en t0 si todas las componentes aij (t) son continuas en t0 .
Si A(t) es continua encada punto t ∈ I se dice que A(t) es continua en I. Representaremos
por C 0 (I, M(n, IK)) al conjunto de todas las funciones de I a M(n, IK) continuas, esto es,
C 0 (I, M(n, IK)) = {A(t) = (aij (t))1≤i,j≤n : aij : I −→ IK continua, 1 ≤ i, j ≤ n}
Diremos que A(t) es diferenciable en t0 si todas las componentes aij (t) son derivables
en t0 y se define su derivada como la matriz
dA
(t0 ) = A (t0 ) =(aij (t0 ))1≤i,j≤n .
dt
Si A(t) es diferenciable en cada t ∈ I diremos que A es diferenciable en I. Representaremos por C 1 (I, M(n, IK)) al conjunto de todas la aplicaciones de I a M(n, IK)
diferenciables con continuidad. As´ı,
C 1 (I, M(n, IK)) = {A(t) = (aij (t))1≤i,j≤n : ∃ aij : I −→ IK continua ∀ 1 ≤ i, j ≤ n}.
Del mismo modo, diremos que A(t) es integrable en un intervalo (c, d) ⊂ IR sitodas
las componentes aij (t) son integrables en (c, d) y se define la integral de A(t) sobre (c, d)
como la matriz
d
d
A(t)dt =
c
aij (t)dt
c
.
1≤i,j≤n
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LLamaremos primitiva de A(t) a la matriz
A(t)dt =
aij (t)dt
.
1≤i,j≤n
Propiedades 1.1. Sean A(t) = (aij (t))1≤i,j≤n y B(t) = (bij (t))1≤i,j≤ndiferenciables en un
punto t0 . Entonces se verifica:
(i) (A + B) (t0 ) = A (t0 ) + B (t0 ).
∀λ ∈ IK.
(ii) (λA) (t0 ) = λA (t0 )
(iii) (AB) (t0 ) = A (t0 )B(t0 ) + A(t0 )B (t0 ).
(iv) (P A) (t0 ) = P A (t0 )
1.3.
∀P ∈ M(n, IK).
Norma de una matriz
En el espacio vectorial M(n, IK) de las matrices cuadradas n × n con coeficientes
reales (IK = IR) o complejos (IK = C)
I se define · 1 : M(n, IK) −→ [0, ∞)que a cada matriz A = (aij )1≤i,j≤n , le hace corresponder la suma de los m´odulos de todos sus elementos,
es decir,
n
A
1
n
|aij |.
=
(1)
i=1 j=1
Se puede comprobar f´acilmente que · 1 cumple las propiedades de una norma:
Sean A, B ∈ M(n, IK) y λ ∈ IK.
1. A 1 = 0 si, y s´olo si, A = (0), donde (0) es la matriz id´enticamente nula.
2. λA 1 = |λ| A 1 .
3. A + B 1 ≤ A 1 + B 1 .
Adem´as, severifica la siguiente propiedad:
4. AB 1 ≤ A 1 B 1 .
En efecto, escribiendo A = (aij )1≤i,j≤n y B = (bij )1≤i,j≤n tenemos
AB = ( nk=1 aik bkj )1≤i,j≤n , as´ı que
n
AB
1
n
n
n
n
n
aik bkj ≤
=
i=1 j=1
k=1
|aik |
i=1 k=1
n
n
|bjk | ≤
j=1
|aik | B
1
= A
1
B 1.
i=1 k=1
Esta norma convierte al espacio M(n, IK) en un espacio vectorial normado. As´ı, se
puede hablar de l´ımite matricialestableciendo que una sucesi´on de matrices {An }∞
n=1
converge a una matriz A si
l´ım An − A 1 = 0.
n→∞
Puesto que se tiene
A
1
≤ n2 m´ax |aij |
1≤i,j≤n
y
A
1
≥ m´ax |aij |
1≤i,j≤n
resulta que la definici´on de convergencia matricial dada equivale a la convergencia componente a componente.
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Lema 1.2....
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