Funciones Vectoriales

Índice

Introducción……………………………………………………………………………...2

Función vectorial………………………………………………………………………..3

Curvas en el espacio y función vectorial……………………………………….3, 4

Derivación e integración de función vectorial……………………………..4, 5, 6

Campo de vectores……………………………………………………………………..6

Campo vectorial…………………………………………………………………………6

Campo cuadrático inversos…………………………………………………………..7Campo vectorial conservativos……………………………………………………….7

Rotacional de un campo vectorial…………………………………………………..8

Divergencia de un campo vectorial………………………………………………8, 9

Relación entre divergencia y rotacional……………………………………………9

Conclusión………………………………………………………………………………10







Introducción





























Función Vectorial

En la ciencia y laingeniería a menudo es conveniente introducir un vector r con las funciones f y g como componentes.

R(t) = < f(t), g(t)> =f(t)i + g(t)j

Se dice que r es una función vectorial. De manera semejante, una curva en el espacio es parametrizada por 3 ecuaciones

X = f(t) y = g(t) z = h(t) a " t " b

Una función vectorial se expresa como:

R (t) = < f (t), g (t), h (t) > = f (t) I +g (t) j + h(t) k

Cuando t varía es posible imaginar que la curva C esta siendo trazada por la punta móvil de r (t)

Curvas en el espacio y función vectorial

Toda curva en el espacio Rn se puede considerar como la imagen de una función vectorial
r: [a, b] → Rn, r(t) = (x1(t), . . . , xn(t)),
Que recibe el nombre de parametrización de la curva. Los puntos r (a) y r (b) son los extremos inicial yfinal de la curva. En el caso de que r(a) = r (b), diremos que la curva es cerrada.
Decimos que dos funciones ϕ: [a, b] → Rn y ψ: [α, β] → Rn son equivalentes si existe una función λ: [a, b] → [α, β] biyectiva y continua tal que ψ ◦ λ = ϕ. La función λ recibe el nombre de cambio de parámetro.
Dos funciones equivalentes representan parametrizaciones distintas de la misma curva y la función λrepresenta un cambio en la rapidez del movimiento.
- Si λ es creciente, se dice que las parametrizaciones ϕ y ψ conservan la orientación de la curva.
- Si λ es decreciente, las parametrizaciones ϕ y ψ invierten la orientación de la curva.

Por ejemplo, las funciones
F1(t) = (cost, sen t), t € [0, 2π],
F2(t) = (cost, − sen t), t € [0, 2π],
F3(t) = (cos 2t,sen 2t), t € [0, π],

Son equivalentes(todas ellas describen la circunferencia unidad), pero f1 y f3 hacen que la curva se recorra en sentido antihorario, y f2 en sentido horario.

Las propiedades geométricas de una curva pueden describirse mediante las propiedades de la función que la describe. Definimos a continuación las principales operaciones con funciones vectoriales y enunciamos sus propiedades básicas, las cuales se aplicandirectamente al estudio de las curvas en el espacio.

Derivación e integración de función vectorial

Derivación
Una función vectorial f : R → Rn es derivable en t0 si existe
F1 (t0) = lim f(t0 + h) − f(t0)
t→t0 h
Si f es derivable en t, entonces
df /dt = f´(t) = (f´1(t), . . . , f`n(t)).

Dada una curva r(t) = (x1(t), . . . , xn(t)), el vector r`(t)(caso de ser no nulo) recibe el nombre de vector tangente a la curva. Si r`(t) = 0, no se define el vector tangente (en este caso el móvil esta en reposo y puede haber un cambio brusco de dirección).

Denotamos por T (t) = r` (t)/|r` (t)| al vector tangente unitario.

Llamamos también recta tangente a la curva r en P0 a la recta que pasa por el punto P0 = r (t0) y tiene la dirección del vectorr´(t0). Su ecuación es, por tanto, f(λ) = r(t0) + λ · r`(t0).

Observemos que el concepto de vector unitario tangente no depende de la parametrizacion, pues si ϕ y ψ son parametrizaciones distintas de la misma curva, entonces
ψ ◦ λ = ϕ, de modo que
ϕ` (t) = ψ` (λ(t)) · λ`(t) = ϕ`(t) = ψ`(λ(t)) · λ`(t) = ± ψ`(λ(t)),
|ϕ`(t)| |ψ` (λ(t)) · λ`(t)| |ψ`(λ(t))|...