Funciones y Derivabilidad

Manuel José Fernández,

mjfg@uniovi.es

CALCULO GRADO EN INGEN. INFORM. DEL SOFTWARE. 11-12 TEMA 1. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL

1.1: Conjuntos Numéricos.
Un conjunto es una colección de objetos. Los objetos de un conjunto se llaman los elementos del conjunto. Para indicar que un elemento x está en el conjunto A escribimos x ∈ A y para indicar lo contrario escribimos x ∉ A . Amenudo se representan los conjuntos mediante llaves encerrando a sus elementos. Así pues 1 ∈ {− 1 , 0, 1, 2} pero 0 ∉ { , 2 , 3}. 1 De los conjuntos numéricos se definen en primer lugar los números naturales N = { , 2 , 3 , . . .} con los cuales se pueden realizar las operaciones de suma y multiplicación para que 1 el resultado siga siendo un número natural.

Método de inducción.

Se considerael conjunto N = { , 2 , 3, . . . } . Sea P una propiedad que puede verificar o no 1 un número natural; expresamos que P (n) es cierto si el número natural n verifica la propiedad P . Si se verifica i) P (1) es cierto, es decir, el primer número natural verifica P . ii) Si es cierto P (n) entonces también lo es P (n + 1) . Entonces todo número natural verifica la propiedad P .

Ejercicio:Demostrar aplicando el principio de inducción que Solución: Para n = 1 obtenemos 1 =

1 + 2 + ... + n =

n(n + 1) 2

∀n ∈ N

1.2 2

cierto n y debemos

Supongamos, por hipótesis de inducción, que es cierta la igualdad para demostrarla para n+1 :

(n + 1)(n + 2) 1 + 2 + ... + n + n + 1 = 2

1 + 2 + ... + n + n + 1 =

n( n + 1) n( n + 1) + 2(n + 1) (n + 1)(n + 2) + n +1 = = 2 2 2

Acontinuación se definen los números enteros Z = {. . . − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , . . .} con los cuales se pueden realizar las operaciones de suma, resta y multiplicación para que el resultado siga siendo un número entero. Seguidamente se consideran los números racionales Q = {p / q ; p, q ∈ Z y q ≠ 0} con los cuales se pueden realizar las cuatro operaciones elementales de suma, resta,multiplicación y división por un número distinto de cero. Ejemplos:

1 = 0.5 2

expresión decimal constituida por un número finito de cifras decimales

1

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1 = 0.3 3

1 = 0.142857 142857 … 7

1 = 0.1 6 6

número infinito de cifras decimales pero repetidas periódicamente. Veamos ahora que 2 no es un número racional, es decir, que 2 no se puedeexpresar de la forma p / q siendo esta una fracción irreducible (es decir que p y q no tienen divisores comunes a excepción de la unidad).

2 = p / q ⇒ 2 = p 2 / q 2 ⇒ p 2 = 2q 2 ⇒ p 2 es par ⇒ p es par ; entonces ∃k ∈ N / p = 2k ⇒ p 2 = 4k 2 = 2q 2 ⇒ q 2 = 2k 2 ⇒ q 2 es par ⇒ q es par . En este caso p y q serian pares lo que contradice el hecho de que p y q no tengan
Si divisores comunes.

2 , π, … se les llama irracionales; el conjunto de los números Los números como racionales ampliado con los irracionales forman el conjunto de los números reales R . Así, por ejemplo, las raíces de la ecuación polinómica x 2 − 3 x + 1 = 0 son números reales

x=

3± 5 2

irracionales

Sin embargo, las raíces de la ecuación polinómica x 2 − 2 x + 3 = 0 no son números reales.

x=

2± −8 = 1± 2i 2

números complejos o imaginarios.

A y B son conjuntos, entonces decimos que A está contenido en B y lo Si representamos A ⊂ B si y sólo si todo elemento de A es también un elemento de B (se dice que A es un subconjunto de B ). Así, por ejemplo, N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R . Producto cartesiano. AxB = {(a, b) / a ∈ A y b ∈ B }
Ejemplos: Si A = {0 , 1}

B = { , 2} 1 BxA = {(1,0) , (1,1) , (2,0),(2,1)}

AxB = {(0,1) , (0,2) , (1,1) , (1,2)}
Si

A = B = [0 , 1]

,

AxB = {( x, y ) / x ∈ [0,1] , y ∈ [0,1] } cuadrado unidad

Intersección.
A ∩ B = {x / x ∈ A y
Ejemplos:

x ∈ B}

;

si A ⊂ B ⇒ A ∩ B = A

A = {múltiplos de 3}

,

B = {múltiplos de 4} ,

A ∩ B = {múltiplos de 12}

2

Manuel José Fernández,

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A = {x ∈ R / x > 1} ,

B = {x ∈ R / x...