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MATEMÁTICAS II, 2º BACHILLERATO

IES BEATRIZ DE SUABIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

F1.- Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 80 cm3. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 1 €/cm2 y para la base se emplea un material un 50% mas caro. Halla las dimensiones de la caja para que su coste sea mínimo.
SOLUCIÓN:

La función aoptimizar es el coste de la caja (C) en función de sus dimensiones: x (lado de la base) e y (altura de la caja) El coste C es la suma del coste de los materiales que la componen. Si la desarrollamos, obtenemos: x y x Las superficies serán: Tapa y superficie lateral S1= ( x2+4xy ) cm2 Superficie de la base: S2 = x2 cm2 Los costes respectivos serán: Tapa y superficie lateral C1= ( x2+4xy ) € Base C2 =1´5 x2 € Por tanto el coste de la caja en función de sus dimensiones será: C = C1+ C2 ⇒ C = ( 2´5 x2 + 4 x y ) €. El volumen debe ser 80 cm2, luego: V = x2 y = 80 ⇒ y = 80 / x2 , sustituyendo en la función coste: C = 2,5 x2 + 320 / x , que es la función que debemos minimizar. Derivamos la función e igualamos a 0: C´ = 5x – 320 / x2 = 0 ⇒ x = 4 cm.

Comprobamos que para x = 4 existe un mínimo: C´´ =5 + 320.2 x / x4 ⇒ C´´(4) > 0 Con lo cual las dimensiones pedidas son : lado de la base: 4 cm, altura de la caja: 5 cm.
COMPLEMENTOS: • En un gran número de problemas de este tipo intervienen áreas y volúmenes de distintas superficies y cuerpos geométricos, aunque sepamos las técnicas para obtener los máximos y mínimos de una función, sino somos capaces de formarla no los podremos resolver, asíque es recomendable el repaso de la geometría elemental Resuelve el problema para un volumen constante V0, y piensa en que se diferencian las gráficas de las funciones C que obtienes para los distintos valores de V0.

•

mac

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F2.- Siendo Ln x el logaritmo neperiano de x, halla el área de la superficierallada: P´
y = Ln x

P

O
SOLUCIÓN:

1

3

Resolvemos el problema hallando la diferencia entre la superficie del rectángulo “OP´P3” y el área limitada por la gráfica de y = Lnx, y las rectas x = 3, e y = 0 Las coordenadas del punto P son: P( 3 , Ln3 ), con lo que la superficie del rectángulo es: S1 = 3 . Ln3 u2. Para hallar la superficie a restar calculamos: S2 =

∫ ln xdx
1

3Una primitiva de y = Lnx se puede calcular utilizando el método de integración por partes: 1 Haciendo u = Lnx, dv = dx, obtenemos: du = dx, y v = x , aplicando el método: x

∫ Lnxdx

= x Lnx -

∫ x. x dx

1

= x Lnx – x. Con ello la superficie S2 será:

x=3 S2 = [ xLnx − x ] x =1 = 3.Ln3 – 3 – Ln1 + 1 = 3.Ln3 - 2 , y para la superficie

pedida tendremos: S = S1 - S2 = 3.Ln3 – 3.Ln3 +2 = 2u2

COMPLEMENTOS: Proponte solucionar el problema aplicando la forma general para calcular el área comprendida entre las curvas: y = f(x) e y = g(x):

∫ ( f ( x) − g( x))dx
a

b

En este caso entre f(x) = Ln3, y g(x) = Lnx. A veces necesitamos calcular primitivas de funciones del tipo y = Ln f(x); con frecuencia se resuelve el problema aplicando en primer lugar el método deintegración por partes, con ello pasamos de la integral inicial a otra en la que no aparece el logaritmo: Ej.

∫ Ln( x

2

− 1)dx

mac

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F3.- De una función f : [0,4] → R se sabe que f(1) = 3 y que la gráfica de su función derivada es la que aparece en el dibujo.

1 y = f´ (x)

1

3

4

a) Halla larecta tangente a la gráfica de f en el punto de abcisa x = 1 b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. ¿En qué punto alcanza la función f su máximo absoluto?. c) Estudia la concavidad y la convexidad de f.
SOLUCIÓN:

Observa que la gráfica que tenemos es la de f´, por tanto sacaremos conclusiones de los intervalos donde es positiva y donde es negativa, de los puntos...