FUNCIONES

´
Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM.
a

1

2. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL
2.1. FUNCIONES ELEMENTALES
2.1.1. Definici´n
o
Se llama funci´n real de una variable real a cualquier aplicaci´n f : D −→ R, D ⊂ R, que hace
o
o
corresponder a cada x ∈ D uno y s´lo un valor f (x) ∈ R. La funci´n se suele representar por y = f (x)
o
o
donde x se llamavariable independiente e y se llama variable dependiente.
Si f (x0 ) = y0 , se suele decir que y0 es la imagen de x0 por la funci´n f , o que x0 es un origen de
o
y0 . La representaci´n en el plano cartesiano de todos estos pares ordenados (x0 , y0 ) se llama gr´fica de
o
a
la funci´n f .
o
y
f

y0

La gr´fica de la funci´n f : D −→ R es:
a
o
G(f ) = {(x, f (x)) : x ∈ D}

O

x0x

El conjunto D ⊂ R formado por todos los valores x ∈ R en los que la funci´n f est´ definida se llama
o
a
dominio de f , y se representa por D(f ). Cuando no se especifica el dominio de la funci´n, se entiende
o
que es el conjunto de todos los n´meros reales para los que la funci´n est´ bien definida.
u
o
a

2.1.2. Ejemplos
o
1. El dominio de la funci´n y = x2 − 1 es D = R, y laimage I = [−1, +∞).
√
2. El dominio de la funci´n y = x es D = [0, +∞), y la imagen es tambi´n I = [0, +∞).
o
e
o
3. Al estar especificado, el dominio de la funci´n:
f (x) = 2x − 1 , 0 < x ≤ 3
es D(f ) = (0, 3], y la imagen I (f ) = (−1, 5].

2.1.3. Crecimiento local y global
Sea f : D −→ R y x0 ∈ D. Se dice que la funci´n f es creciente en x0 si existe un δ > 0 tal que:
o
x0 − δ < x < x0=⇒ f (x) ≤ f (x0 )
x0 < x < x0 + δ =⇒ f (x0 ) ≤ f (x)
An´logamente, se dice que la funci´n f es decreciente en x0 si existe un δ > 0 tal que:
a
o
x0 − δ < x < x0 =⇒ f (x) ≥ f (x0 )
x0 < x < x0 + δ =⇒ f (x0 ) ≥ f (x)
Cuando, en las definiciones anteriores, las desigualdades entre los valores de la funci´n son estrictas, se
o
dice que la funci´n es estrictamente creciente o estrictamentedecreciente en x0 .
o
Si la funci´n s´lo est´ definida a uno de los lados del punto, se dice que es (estrictamente) creciente o
oo
a
(estrictamente) decreciente si lo es por el lado en que est´ definida.
a
Globalmente, se dice que f es creciente en un subconjunto del dominio A ⊂ D si para cualesquiera
x1 , x2 ∈ A se cumple que:
x1 < x2 =⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 )
y, se dice que f es decreciente enA ⊂ D si para cualesquiera x1 , x2 ∈ A se cumple que:
x1 < x2 =⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 )
Como en el caso local, si las desigualdades son estrictas el crecimiento o decrecimiento se dice estricto.

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Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM.
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2.1.4. Ejemplo
La funci´n cuya gr´fica aparecen en la figura es:
o
a
y

O

a x0 b x1 c x2 d

ex

•
•
•
•
•
••
•
•

Creciente en a, x0 , x2 , d y e.
Estrictamente creciente en a, x0 y x2 .
Decreciente en x1 y e.
Estrictamente decreciente en x1 .
Creciente en el intervalo [a, b] y en [c, e].
Estrictamente creciente en [a, b] y en [c, d].
Decreciente en [b, c] y en [d, e].
Estrictamente decreciente en [b, c].
Constante en [d, e].

El crecimiento global en intervalos puede causar confusi´ncon el crecimiento local en sus extremos: la
o
funci´n de la figura es globalmente creciente en el intervalo cerrado [a, b], incluyendo al punto b, y no lo
o
es localmente en b, ya que en el crecimiento local hay que mirar a los dos lados del punto.

2.1.5. Acotaci´n y extremos
o
Sea f : D −→ R una funci´n real de variable real.
o
• Se dice que f est´ acotada superiormente si existe unn´mero real M , llamado cota superior,
a
u
tal que f (x) ≤ M para cualquier x ∈ D. La menor de las cotas superiores se llama supremo y, si
se alcanza en alg´n punto del dominio, m´ximo.
u
a
• Se dice que f est´ acotada inferiormente si existe un n´mero real m, llamado cota inferior,
a
u
tal que f (x) ≥ m para cualquier x ∈ D. La mayor de las cotas inferiores se llama ´
ınfimo y, si se...