Funciones

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Pontificia Universidad Catolica de Chile
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Facultad de Matematicas
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Departamento de Matematica
Segundo Semestre de 2009
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Calculo I - MAT210E-2

Ayudant´ 1
ıa
Funciones Reales

Problema 1: Determine el dominio y recorrido de las siguientes funciones:
i) f (x) =

x+3
.
x−4

x2 − x − 6
.
x+2
√
iii) h(x) = 1 − 1 − x2 .
√
√
4x + 1 − x + 6
√
Problema 2: Sea f (x) =
.x−1
ii) g(x) =

i) Determine el m´ximo dominio de f .
a
ii) Encuentre {x ∈ (1, ∞)/f (x) < 1}.
Problema 3: Considere la funci´n f : X → Y una funci´n tal que f (x) =
o
o

2x − 1
.
x+2

i) Determine el m´ximo dominio X de f .
a
ii) Determine Y de tal forma que f sea epiyectiva.
iii) Verifique que f es inyectiva y determine f −1 .
Problema 4: Considere las funciones f (x) =

22x2 + 2
y f ◦ g(x) = 2
.
x+3
3x + x + 3

i) Demuestre que f es biyectiva.
ii) Determine f −1 .
iii) Encuentre g(x).
Problema 5: Las funciones f1 : X1 → X2 , f2 : X2 → X3 , f3 : X3 → X4 son tales que las
composiciones f2 ◦ f1 : X1 → X3 y f3 ◦ f2 : X2 → X4 , son ambas biyectivas. Muestre que
f1 , f2 , f3 son todas biyectivas.

milopez@ing.puc.cl

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Segundo Semestre de 2009
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Calculo I - MAT210E-2

Ayudant´ 1
ıa
Soluciones

Problema 1: Para encontrar el dominio de una funci´n debemos recordar que en R no podemos
o
dividir por cero, ni obtener la ra´ cuadrada de un n´mero negativo. En el caso del recorrido,
ız
u
debemos ver cu´ndo y c´mo podemos despejar y enfunci´n de x.
a
o
o
i) El unico problema que nos da esta funci´n es no dividir por cero. Luego,
´
o
Dom(f ) = R − {4} .
Para el recorrido, despejamos y en funci´n de x
o
y=

x+3
7
7
7
⇐⇒ y − 1 =
⇐⇒
= x − 4 ⇐⇒
+ 4 = x.
x−4
x−4
y−1
y−1

Por lo tanto,
Rec(f ) = R − {1} .
ii) Notemos que x2 − x − 6 = (x − 3)(x + 2), entonces podr´ ser l´gico simplificar y luego
ıa
o
buscarel dominio m´s f´cilmente. Sin embargo, no podemos hacer esto ya que la funci´n
a a
o
viene definida como un cuociente, es decir, la funci´n dada es distinta a f (x) = x − 3 y
o
sigue que
Dom(f ) = R − {−2} .
Por otro lado, para calcular el recorrido, s´ podemos simplificar mientras tengamos en
ı
cuenta que no hay funci´n definida para x = −2. Luego,
o
y=

x2 − x − 6
(x − 3)(x + 2)
=
=x − 3 ⇐⇒ y + 3 = x.
x+2
x+2

Por lo tanto, el recorrido est´ dado por todos los reales, excepto para y = (−2) − 3 = −5.
a
Rec(f ) = R − {−5} .
iii) Notemos que hay dos ra´
ıces as´ que para determinar el dominio, debemos ver que ambas
ı
queden bien definidas. Para la primera, pediremos que
1 − x2 ≥ 0 ⇐⇒ 1 ≥ x2 ⇐⇒ 1 ≥ |x|.
Tambi´n notemos que
e
x2 ≥ 0 ⇐⇒ −x2 ≤ 0 ⇐⇒ 1 − x2 ≤ 1 ⇐⇒

1− x2 ≤ 1 ⇐⇒ 0 ≤ 1 −

1 − x2 .

Por lo tanto,
Dom(f ) = [−1, 1].
milopez@ing.puc.cl

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Calculo I - MAT210E-2

Para el recorrido,
1 − x2 ≥ 0 ⇐⇒ 0 ≥

1 − x2 ⇐⇒ 1 ≥ 1 −

1 − x2 ⇐⇒ 1 ≥

1−

1 − x2 = f (x).

Adem´s, como la ra´ cuadrada siempreentrega n´meros no negativos
a
ız
u
Rec(f ) = [0, 1].
Problema 2: Recordaremos un par de cosas de desigualdades.
i) Primero debemos preocuparnos de que todas las ra´
ıces est´n bien definidas. Luego, debe
e
cumplirse que
1
4x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ − ,
4
x + 6 ≥ 0 ⇒ x ≥ −6,

(1)
(2)

x − 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1.

(3)

Adem´s, no debemos dividir por cero, es decir
a
x−1=0⇒x=1

(4)

Luego,
1Dom(f ) = − , ∞ ∩ [−6, ∞) ∩ [1, ∞) ∩ (R − {1}) = (1, ∞).
4
ii) Estamos buscando todos los x que cumplan con
√
√
√
√
√
√
√
√
4x + 1 − x + 6
√
< 1 ⇐⇒ 4x + 1− x + 6 < x − 1 ⇐⇒ 4x + 1 < x + 6+ x − 1.
x−1
Notemos que todos los t´rminos de la ultima desigualdad son positivos y por lo tanto,
e
´
podemos elevar al cuadrado y obtener
√
√
4x + 1 < x + 6 + 2 x + 6 x − 1 + x − 1
√
√...