Funciones

1) FUNCIONES.
Una función es una relación o correspondencia entre dos magnitudes, de manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda (o ninguno), que llamamos imagen o transformado.
A la función se le suele designar por f y a la imagen por f(x), siendo x la variable independiente.
• Variable independiente: la que se fija previamente
• Variable dependiente: Laque se deduce de la variable independiente.
• Las funciones son como máquinas a las que se les introduce un elemento x y devuelven otro valor y, que también se designa por f(x).
• Por ejemplo, la función f(x) = 3x2 + 1 es la que a cada número le asigna el cuadrado del número multiplicado por 3 y luego sumado 1.
• Así f(2) = 3*22 + 1= 3*4 + 1 = 12 + 1 = 13
DOMINIO DE UNA FUNCION(x).
Es elconjunto de todos los elementos de los pares ordenados.
RANGO DE UNA FUNCION(y).
Es el conjunto de todos los valores de los segundos elementos de los pares ordenados. f={(4,12)(6,-7),8-1,4)}. Encontrar el dominio y el rango de esta función.
Dominio: x=4,6,-1 Rango:y=12,-7,y

EJEMPLOS:

F(x)=3x -2x+5
Hallar: a) f(2) b) (-2/3) c) (x+h)

a) f(2)=3(2) -2(2)+5
f(2)=3(4)-4+5
f(2)=12-4+5=13

b) f(-2/3)=3(-2/3) -2(-2/3)+5
f(-2/3)=3(4/9)-2(-2/3)+5
f(-2/3)=3/1(4/9)-2/1(-2/3)+5
f(-2/3)=12/9+4/3+5/1
f(-2/3)=12+12+45/3=69/9=23/3

c) f(x+h)=3(x+h) -2(x+h)+5
f(x+h)=3(x +2xh+h )-2(x+h)+5f(x+h)=3x+6xh+3h -2x-2h+5

2) LIMITES.
Si la función f tiene límite L en c podemos decir de manera informal que la función f tiende hacia el límite L cerca de c si se puede hacer que f(x) esté tan cerca como queramos de L haciendo que x esté suficientemente cerca de c siendo x distinto de c.
EJEMPLOS:
Sustituyendo el valor de la variable independiente.-
Calcular el Lim. x +2x +1= (2) +2(2)+1x->2 =4+4+1=9
Simplificando laexprecion antes de sustituir directamente el valor de la variable independiente se debe factorizar.-
Calcular el Lim x –x-12=(4) –(4)-12=16-4-12=0
x-4 (4)-4 4-4 0
se debe racionalizar.- Lim(x-3)(x-4)= Lim x+3=(4)+3= 7
x-4 x->4



Calcular el límite de la función f(x) = (2.x³ -1)/(3.x ² + 4), cuando x → 1
Resolución:
(2.x³ - 1)/(3.x ² + 4) =
(2.x³ - 1)/
(3.x ² + 4) = 1/7
Calcular el límite de la función g(x) = (x³ - 2.x ² - 6.x + 12)/(x ² + 3.x - 10), cuando x → 2
R esolución:
(x³ - 2.x ² - 6.x + 12)/(x ² + 3.x - 10) =
(x³ - 2.x ² - 6.x + 12)/
(x ² + 3.x - 10) = (2³ - 2.2 ² - 6.2 + 12)/(2 ² + 3.2 - 10) = 0/0
Calcular el límite de la función f(x) = (3.x ² -4.x)/x, cuando x → 0
Resolución :
(3.x ² - 4.x)/x =
(3.x ² - 4.x)/
x = 0/0, indeterminación.
- Se simplifican numerador y denominador (factor común)
(3.x ² - 4.x)/x =
x.(3.x - 4)/x
=
(3.x - 4) = -4
Calcular
1/(x - 3) ²
Resolución :
1/(x - 3) ² = 1 /
(x - 3) ²
= 1/0, indeterminación.
Para resolver la indeterminación se estudian los límites laterales de la función en el punto x0 = 3.1/(x - 3) ² = 1 /
(x - 3) ² = 1/0 = + ∞
1/(x - 3) ² = 1 /
(x - 3) ² = 1/0 = + ∞




Calcular el límite de la función f(x) = 1 / (x - 1), cuando x → 1.
Resolución :
1 / (x - 1) = 1 /
(x - 1)
= 1/0, indeterminación.
- Se estudian los límites laterales:
1/(x - 1) = 1 /
(x - 1)
= 1/0 = + ∞
1/(x - 1) = 1 /
(x - 1)
= 1/0 = -...