Funciones

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Unidad II: Funciones 2.1 Introducción La gran importancia que el concepto de función juega en las matemáticas, se debe a que casi cada situación de la experiencia diaria es susceptible de ser interpretada como una función, por ejemplo: el salario de una persona puede depender del número de horas de trabajo, la producción total de una fabrica puede depender del numero de maquinas empleadas,el volumen del espacio ocupado por un gas a presión constante depende de la temperatura del gas, la resistencia de un conductor eléctrico de longitud fija depende de su diámetro, etc. La relación de estas cantidades y muchas otras pueden expresase por medio de una función. Definición. Una función es una aplicación de los elementos de un conjunto (x) hacia otro conjunto (y), en la cual no debenexistir dos parejas ordenadas distintas con el mismo primer elemento; gráficamente tenemos:

En la aplicación de los conjuntos las parejas que se forman corresponden a los pares ordenados: (J , 1) ; (B , 2) ; (G , 3) ; . . . , en dicha aplicación al conjunto de todos los valores posibles del conjunto X, se le llama el dominio de la función, y al conjunto de todos los valores que toma Y, se le llama,contradominio o imagen de la función. La restricción de que no haya dos pares ordenados con el mismo primer elemento, asegura que (y) es única para un valor especifico de (x). Los números x & y son variables y puesto que a (x) se le asignan valores, (y)

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depende de ellos; entonces a (x) se le conoce como la variable independiente, & (y) variable dependiente. Para denotar una funciónutilizamos símbolos como f, g, h, etc y si (f) representa una función, entonces la grafica de (f) corresponde al conjunto de todos los puntos (x,y) en R2, para los que (x,y) es un par ordenado de (f). Por ejemplo, sea: f = {(x,y) │ y = x2 – 1 } que se lee, la función f es el conjunto de los pares ordenados (x,y) para los que y = x2 – 1

En algunos casos la función puede estar definida por más de unaecuación como se muestra:

3 si x y 1 4

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cuyo grafico aparece en la siguiente figura

si 1< x 2 si 2 < x

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De la figura podemos observar que el domineo de la función es el intervalo (- ∞, ∞), y contradomineo el conjunto formado por los elementos {- 3, 1, 4 }. La grafica de una función solo puede ser cortada por una recta vertical en un punto, como se puede verificar en los dosgráficos anteriores, así como en el de la siguiente función: f = {(x,y)│y = 5 x } ; x ≤ 5 valores que debe tomar x en la raíz cuadrada, grafico en la figura siguiente:

Observe que cualquier recta vertical de la forma x = k con k ≤ 5 solo corta a la grafica en un punto, lo cual no sucede con el grafico del conjunto:

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{(x,y)│x2 + y2 = 25 } Que corresponde a una circunferencia de radio (5) concentro en el origen, como se muestra:

El conjunto de pares ordenados no es una función, porque para cualquier x en el intervalo (- 5, 5) hay dos pares ordenados con el mismo primer elemento, además la recta x = k en – 5 < k < 5, corta la grafica en dos puntos. En la notación de funciones si f es la función que tiene como dominio la variable x & su contradominio la variable y, el símbolo f(x)que se lee, f de x, denota el valor particular de y que corresponde al valor de x. Por ejemplo si f = {(x,y)│y = 5 x };entonces f(x) = 5 x , por lo que cuando x = 1, 5 x 2 , y tenemos f(1) = 2 Clasificación de las funciones Por la naturaleza de la función se les clasifica en: a) Funciones elementales fundamentales b) Funciones algebraicas c) Funciones transcendentes Una función y = f(x) donde en elsegundo miembro de la igualdad, esta compuesto de funciones elementales y constantes, mediante un numero finito de operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división y función de función, se le llama función elemental. Funciones elementales expresadas analíticamente: 1 Función potencial: y = xά donde ά ε R, función definida para - ∞ < x < ∞ , para el caso de ά negativo la función se...