Funciones

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS
FACULTAD DE INGENIERÍAS Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
CURSO: CÁLCULO I TEMA: FUNCIONES PROFESOR: Martín Pajuelo Cortez

1. Si f (x) =

x−1 f (x + h) − f (x) . , calcular x h

x + h −1 x −1 − x + h −1 f (x + h) − f (x) x . Luego: SOLUCIÓN: f (x + h) = = x+h x+h h h
x 2 + xh − x − x 2 − xh + x + h h 1 (x + h)x (x + h)x . = = = h h x(x+ h)
⎛ 1− x ⎞ 2 2. Si f ⎜ ⎟ = x , calcular f (x) − f (− x) . ⎝ 4 ⎠

SOLUCIÓN: Sea:
2

1− x 2 = m ⇒ 1 − x = 4m i.e. x = 1 − 4m ⇒ f (m) = (1 − 4m ) 4
2 2 2

⇒ f (x) = (1 − 4x ) ∧ f (− x) = (1 +4x ) ∴ f (x) − f (− x) = (1 − 4x ) − (1 + 4x )
2 2 = − ⎡(1 + 4x ) − (1 − 4x ) ⎤ = − [ 4(1)(4x)] = −16x . ⎣ ⎦

⎛ x −1 ⎞ 3. Si f ⎜ ⎟ = x + 1 , ¿para qué valor o valores de x, es f (x + 1) = f (1 −x) ?. ⎝ 2 ⎠
SOLUCIÓN: Sea:
x −1 = m ⇒ x = 2m + 1 ⇒ f (m) = 2m + 2 i.e. f (x) = 2x + 2 . 2

Luego: f (x + 1) = f (1 − x) ⇒ 2(x + 1) + 2 = 2(1 − x) + 2 ⇒ 2x = 0 ∴ x = 0 .

4. Dada la función f (x)=

x x

, determinar el dominio, el rango y graficar.

SOLUCIÓN: Dom(f ) = R − {0} .

Rango: Si x > 0 ⇒ f (x) =

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⇒ Ran(f ) = {−1,1} . ⎪ −x Si x < 0 ⇒ f (x) = ⇒ f (x) = −1⎪ x ⎭ x ⇒ f(x) = 1 x

Gráfica:

Y f 1 0 X

−1

5. Si f (x) = x − 1 − x , graficar y determinar su rango.

SOLUCIÓN: Previamente particionamos la recta real en tres intervalos:

Si x < 0 ⇒ x − 1 <−1:
⇒ f (x) = − x + 1 + x i.e. f (x) = 1. Si 0 ≤ x < 1 ⇒ −1 ≤ x − 1 < 0 : ⇒ f (x) = − x + 1 − x i.e. f (x) = −2x + 1. 0 1

Si x ≥ 1 ⇒ x − 1 ≥ 0 : ⇒ f (x) = x − 1 − x i.e. f (x) = −1.
Luego: ⎧1, x < 0⎪ f (x) = ⎨−2x + 1, 0 ≤ x < 1 ⎪−1, x ≥ 1 ⎩ f

Y

1 1 0 −1 X

Ran(f ) = [ −1,1] .

6. Dada la función f (x) = −2 x − 3 + 6 , determinar el rango y calcular el área de la región determinada por eleje X y la gráfica de la función.

SOLUCIÓN: V = (3, 6) , la gráfica se abrirá hacia abajo.
Interceptos con el eje X:
Si : y = 0 ⇒ 0 = −2 x − 3 + 6 ⇒ x − 3 = 3 ⇔ x − 3 = 3 ∨ x − 3 = −3 ⇔...