Funciones

RELACIÓN BINARIA

La relación binaria entre dos conjuntos A y B está definida por R el cual es un subconjunto del producto cartesiano entre A y B (AxB). En este caso se dirá que la relación de A en B es el conjunto R. El conjunto A es el conjunto departida mientras que B el conjunto de llegada. Los elementos del conjunto R son pares ordenados (a, b) de los cuales a ∈ Ay b ∈ B. Estosse denotan a R b lo cual se lee “a está relacionado con b según la relación R”. Por ejemplo, la relación mayor que de los conjuntos A= {5, 7, 8} y B={6,9,10} será R= {(7,6),(8,6)}Cuando A=B diremos que R es una relación en A.
Representación gráfica de Relaciones
Las relaciones pueden representarse gráficamente de diversas maneras siendo las más comunes la representación cartesiana, lamatricial y la sagitaria.
Representación Cartesiana
En esta se utilizan los elementos del conjunto de partida como abscisas y los del conjunto de llegada como ordenadas para representar la relación en el plano cartesiano.Por ejemplo, si tenemos que una relación de A en B es el conjunto R= {(3,-2), (1,-1), (-1,0), (-3,1), (-5,2)} entonces su representación cartesiana será lasiguiente:
Representación Sagitaria
En ella se utilizan diagramas de Venn para representar los conjuntos departida y de llegada y se unen los pares ordenados mediante flechas. Esta es empleada para conjuntos finitos.
Representación Matricial

En ella se crea una matriz colocando los elementos del conjunto de partida cómo filas y los del conjunto de llegada como columnas. La matriz se llenacolocando 1 en las posiciones donde los elementos se relacionan y 0 en caso contrario.


DOMINIO Y RANGO
El dominio y rango de una relación binaria entre dos conjuntos está determinado por los elementos del conjunto de partida (dominio) y del conjunto de llegada (rango o imagen). De esta manera tenemos que:
Dom(R)= {a∈ A | (a,b)∈ R para algún b∈ B }Rang(R)= {b∈ B | (a,b)∈ R paraalgún a∈ A }
En otras palabras, el dominio serán los primeros componentes de los pares ordenados (a,b) que conforman R y el rango serán los segundos componentes.

FUNCIÓN
En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y(llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un únicoelemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).

CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
INYECTIVA
Una función f es inyectiva si, cuando f(x) = f(y), x = y.
Ejemplo: f(x) = x2 del conjunto de los números naturales  a  es una función inyectiva.
(Pero f(x) = x2 no es inyectiva cuando es desde el conjunto de enteros  (esto incluye números negativos) porque tienes por ejemplof(2) = 4 y
f(-2) = 4)
Nota: inyectiva también se llama "uno a uno", pero esto se confunde porque suena un poco como si fuera biyectiva.
SOBREYECTIVA (O TAMBIÉN "EPIYECTIVA")
Una función f (de un conjunto A a otro B) es sobreyectiva si para cada y en B, existe por lo menos un x en Aque cumple f(x) = y, en otras palabras f es sobreyectiva si y sólo si f(A) = B.
Así que cada elemento de la imagencorresponde con un elemento del dominio por lo menos.
Ejemplo: la función f(x) = 2x del conjunto de los números naturales  al de los números pares no negativos es sobreyectiva.
Sin embargo, f(x) = 2x del conjunto de los números naturales  a  no es sobreyectiva, porque, por ejemplo, ningún elemento de  va al 3 por esta función.

BIYECTIVA
Una función f (del conjunto A al B) es biyectiva si,para cada y en B, hay exactamente un x en A que cumple que f(x) = y
Alternativamente, f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.
Ejemplo: La función f(x) = x2 del conjunto de números reales positivos al mismo conjunto es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto es biyectiva.
(Pero no desde el conjunto de todos los números reales porque podrías tener por ejemplo
f(2)=4 y
f(-2)=4)...