FUNCIONES

 Ecuaciones en R

1. Ecuaciones con radicales

Definición:

Son aquellas ecuaciones que pueden tener la variable dentro de algún

radical.

Ejemplos:

= 3, = 2, += x.

1.1 Propiedades:


1.  0,  p(x)  0.

2. = 0  p(x) = 0.

Veamos la siguiente ecuación:

= q(x) ……….. ( ) ; n  Z+ par

Procedimiento para resolver:1º Resolvemos: p(x)  0, y se obtiene el conjunto solución: U1

q(x)  0, y se obtiene el conjunto solución: U2

2º Resolvemos la ecuación p(x) = [q(x)]n y se obtiene el conjunto

solución

Luego el conjunto solución C.S de ( ) es .

1.2 Observaciones:


1) De manera análoga al procedimiento anterior se resuelve una

ecuación en la que aparecenvarios radicales de índice par.



2) Para resolver la ecuación con n Z+, impar



se procede como en 2º, obteniéndose el conjunto U3, y los

elementos del conjunto solución serán aquellos elementos de U3

que verifiquen .

Ejemplo:

Hallar el menor elemento del conjunto solución de la ecuación

.

Solución:


1º
.
2º Elevandoal cuadrado la ecuación:

.


Cancelando se tiene  .
Luego . Es decir .

2. Ecuaciones con Valor Absoluto


Recordando la definición de valor absoluto:




2.1 Propiedades:


1. = 0  p(x) = 0.

2. = ; = (p(x))2.

3. = .

4. =  [ p(x) = q(x)  p(x) = – q(x) ].

5. + = 0  p(x) = 0  q(x) = 0.

6. = q(x)  q(x)  0  [ p(x) = q(x)  p(x) = –q(x) ].

Ejemplo

Resolver .

Solución:

1º

2º .



3. Ecuaciones Exponenciales

Son aquellas ecuaciones que tienen la variable en el exponente.

Propiedad: Si b > 0 y b  1, bx = by  x = y.

Ejemplo:

Si , hallar x.
Solución:



Por aspa simple se tiene:



4. Inecuaciones en una variableConcepto:

Una inecuación en una variable x, es toda expresión matemática H(x) dada

por




Al conjunto de los valores de x que hace a la desigualdad verdadera, se le

denomina conjunto solución (C.S.) de la inecuación.

4.1 Inecuaciones polinomiales de grado superior

Es aquella inecuación que tiene la siguiente forma






Considerando la inecuación:suponiendo que se puede factorizar el polinomio p(x), es decir


entonces la inecuación (*) se resuelve aplicando el Método de Puntos

Críticos, el cual consiste en:

1º Hallar todos los puntos críticos ó raíces de cada factor (x – ri) en

este caso se tiene:

Puntos críticos =.

2º Ordenar los puntos críticos en la recta real: Supongamos que lospuntos son ordenados en la forma ,

luego en la recta real se tendría


r1 r2 …... rn-2 rn-1 rn



3º Colocar entre los puntos críticos los signos (+) y (–)

alternadamente, comenzando de la derecha y siempre con el

signo (+):


Luego el conjunto soluciónpara (*) será:





Ejemplo 1:

Resolver la inecuación .


Solución:

1º Factorizando se tiene:.

2º Aplicando el método de puntos críticos se tiene:

i) Puntos críticos =

ii)
.


A continuación veamos el caso particular: grad = n = 2.



4.2 Inecuación Cuadrática:




Para resolver se presentan tres casos:

CASO1.

, en este caso la inecuación se resuelve

usando el método de puntos críticos.

Ejemplo 2:

Resolver la inecuación .

Solución:

1º

2º Factorizando se tiene:


Aplicando el método de puntos críticos se tiene:


i) Puntos críticos =



ii)

.




CASO 2.



R...