FUNCIONES

FUNCIONES

TM

PDF Editor

I) CONCEPTO DE FUNCIÓN. DEFINICIONES
Ejemplo 1: Considerar la función y=f(x)=x

2

1

Podemos estudiar su comportamiento utilizando un diagrama de conjuntos o diagrama de Venn :
2

f(x)=x
0

0

1

1

2

4

-1

·
·
·

-2
·
·
·
Im(f)=ℝ

Dom(f)=ℝ

+

Ahora bien, en la práctica lo anterior se suele indicar más bien mediantetabla de valores:
x
f(x)=x

2

-2

-1

0

1

2

3

4

1

0

1

4

9

(NOTA: más adelante veremos que esta función se trata de una parábola…)

Por ejemplo, se dice que la imagen de 3 a través de la función anterior es 9, y se designa como f(3)=9
¡Muy importante!: Para que una función esté bien definida, cada x no puede tener más de una imagen.

Definiciones:
« Unafunción es una aplicación entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento –llamado x, o
variable independiente- del conjunto inicial le corresponde un único elemento a lo sumo –llamado
imagen de x, o f(x)- del conjunto final».
Como acabamos de indicar, x se llama variable independiente, mientras que y es la variable dependiente
(ya que, obviamente, depende de x).
f(x) se llama imagen dex, mientras que x se llama antiimagen de f(x). En el ejemplo anterior, la antiimagen
de y=9 sería x=±3.
Dominio de definición de la función: « Es el conjunto formado por todos los x para los que existe imagen»;
se suele designar como Dom (f), o Dom f(x), etc. En el ejemplo anterior sería, lógicamente, Dom (f)=ℝ, como
se indica en el propio diagrama de conjuntos.

TM

1

PDF EditorIntroducidos en 1880 por el matemático y filósofo británico John Venn (1834-1923)

Imagen o Recorrido de la función: « Es el conjunto formado por todas las imágenes f(x) posibles»; se puede
+
designar como Im (f), o R(f), etc. En el ejemplo anterior sería, lógicamente, Im (f)=ℝ , como también se indica
en el diagrama.

ℝ+

f: ℝ

Por tanto, la definición exhaustiva de esta función sería:x

f(x)=x

pero en la práctica, por comodidad, se suele abreviar diciendo simplemente f(x)=x

2

2

Ejercicios final tema: 1 y 2

II) GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
2

Ejemplo 2: Construir la gráfica de f(x)=x mediante tabla de valores.
x

-5

f(x)=x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

2

Definición: « La gráfica de una función y=f(x) está formada por los ∞puntos
(x,y) que verifican la expresión y=f(x)».

Observaciones:
1º) Podemos

obtener gráficamente el Dom(f) si nos desplazamos
imaginariamente de izquierda a derecha a lo largo del eje x y vamos viendo hacia arriba o hacia abajo
cuándo existe imagen, es decir, cuándo hay gráfica.
De la misma forma, podemos obtener el Im(f) a partir de la gráfica si nos vamos desplazando
imaginariamente a lolargo del eje y de abajo a arriba y vamos viendo a izquierda y derecha cuándo existe
antiimagen(es), es decir, cuándo hay gráfica.

2º) El hecho de que un mismo x no pueda tener más de una imagen se traduce gráficamente en que «Toda
recta vertical que se desplace imaginariamente a lo largo de la gráfica sólo puede cortar a ésta a lo sumo
2
en un punto ».
Ejemplo 3: Dada f(x) = x , se pide:a) Representarla gráficamente.
b) Deducir su Dom(f) e Im(f) a la vista de lo anterior.
x
f(x)=√x

Dom (f)=
Im (f)=

TM

2

En cambio, una recta horizontal que se desplace imaginariamente por la gráfica puede cortar a ésta en varios puntos, lo
que corresponde al hecho de que un mismo f(x) puede tener varias antimágenes … (como ocurre en el ejemplo 2)

PDF Editor

Ejercicios finaltema: 3 a 6

III) CÁLCULO DEL Dom(f) DE LAS FUNCIONES MÁS HABITUALES
Vamos a ver una serie de "recetas" para deducir el dominio de definición de una función a partir
exclusivamente del tipo de expresión analítica, es decir, sin necesidad de dibujar su gráfica previamente.

III.1) Función polinómica: «Dom[f(x) polinómica]=ℝ»
La explicación es obvia: recordemos que el dominio de una...