Funciones



FUNCIONES


Sean A, B conjuntos cualquiera, una función f de A en B es un subconjunto de A x B tal que:

1.-  x  A,  y  B tal que y  f (x)
2.-  x  A,  ( y, z )  B tal que y  f(x), z  f(x)  y  z

A se dice Dominio de f, anotado como dom f
B se dice Codominio de f, anotado como Cod f

El conjunto  y B /  x  A tal que y  f(x) se dice que es el recorrido de f y se anota Rec fDecir y  f(x) equivale a decir que:
“y es la imagen bajo f de x” o “ x es la pre-imagen de y”

Si f  AxB, es función de A en B, anotamos:

f : A  B
x  f(x)

Nos referimos a funciones donde A  R, B  R

Convenio: Si A es el mayor subconjunto de R tal que,
f : A  R es función, diremos que A es el dominio de f
Hablamos así: A es máximo dominio de f

TIPOS DE FUNCIONES

Definición 1: Sedice que una función f: A  B es inyectiva,
Si  f (u)  f (v)  u  v 

Ejemplo 1: sea f : R  R, tal que f(x) = 2x - 3.
f es inyectiva ya que : f (u)  f(v)  2u - 3  2v - 3  2u  2v  u  v

Ejemplo 2: Si f : R  R tal que f(x)  2x - 1 con x  -2
x + 2
¿ es inyectiva?

2a-1 = 2b-1
a+2 b+2

2ab + 4a - b - 2= 2ab - a + 4b - 2
5a = 5b / : 5
a = b
 es Inyectiva

Definición 2 : Se dice que una función  : A  B es Epiyectiva ó  Sobreyectiva  si Rec = B.

Ejemplo 1 : La función  : R R tal que   x   2x -3 es Epiyectiva,
en efecto :

Sea y  R y veamos si existe x  R tal que y  2x -3
 (x  y + 3 es el real buscado   y  R   x  R, x  y + 3 /  y  2x -3 
2 2

En consecuencia R  Rec es decir R  Rec

Definición 3 : Se dice que una función  es Biyectiva si es Inyectiva y Epiyectiva a la vez

Ejemplo 1 : Sea  : R - 1   R - 0 , tal que f(x) = 1__1 - x
 es Biyectiva, en efecto :

a)  es Inyectiva
  u     v   1  1__  1 - u  1 - v  -u  -v  u  v  es 1-1
1 - u 1 - v
ii)  es Epiyectiva :
Sea y  x  y __1 , y  o  y1-x1 xy - 1
1 - xy

yR0,  xR1 tal que xy es Sobreyectiva
de i y ii  es Biyectiva.

De forma más simple:

b)  es Epiyectiva : Cuando no sobra ningún elemento en el Codominio.
Definición :   A   B




 
 
 
 




Es Epiyectiva
No es Inyectiva

Ejemplo 2 : y =  x  2x+1x-2


-Para el recorrido despejar ( x )
xy-2y = 2x+1
xy-2x = 2y+1
x( y-2 ) = 2y+1
x = 2y+1
y-2
Rec  R -  2  En este caso coinciden
Dom = R -  2 

  x   2x+1
x+2

 : R -  2   R -  2 



Funciones especiales


a)  Constante : Definición   x   b  x

AB
 
 
 
 



b)  Identidad : Definición   x   x  x


-1 --1
0 0
1 1
2 2
3 3


c)  Compuesta : Si  A  B y g : B  C

Se define  g o    x   g    x  




A  B g Ca x 1
b y 2
c z 3
d w 4




( g o    a   g    a    g  y   1
( g o    b   g    b    g  x   2
 g o   c   g   c    g  z   2
( g o   d   g   d    g  x   2



Ejemplo  : R ...