FUNCIONES

RELACIONES Y FUNCIONES
Dos franceses reciben el crédito de crear la idea del sistema de
coordenadas. Pierre de Fermat era un abogado que hacía matemáticas por
afición. En 1629, escribió una notas donde hacía uso explícito de coordenadas
para describir puntos y curvas. René Descartes era un filósofo que pensaba
que las matemáticas eran la llave para descubrir los secretos del universo.En
1637publicó La Géométrie. Es un libro muy famoso, y aunque pone énfasis
en el papel del álgebra para resolver problemas de geometría sólo sugiere
vagamente el uso de coordenadas. Fermat debería tener el mayor crédito por
habérsele ocurrido la idea primero y de un modo más explícito, pero las
coordenadas se conocen como coordenadas cartesianas debido a René
Descartes.

Observación
Sean Eß F © ‘ ß con Eß FÁ g, consideremos el producto cartesiano
E‚F
1.- El producto cartesiano más importante en esta asignatura es ‘ ‚ ‘
2.- Recordemos que ‘ se representa en la llamada recta real.
‘
íïïïï¸ïïïïïî
+ oqqq¸qqq¸qqqqqqp
3.-Del mismo modo representaremos a ‘ ‚ ‘ en el llamado
plano cartesiano,el cual denotaremos por ‘# , donde
Cada para ordenado de ‘ ‚ ‘ se puede representar graficamente
trazando una rectahorizontal y una vertical que se cortan en el
origen !. La recta horizontal S\ se llama eje B y la recta vertical
S] , eje C Þ El plano determinado por los dos ejes recibe el nombre
de plano cartesiano .

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Un punto T del plano coordenado se puede identificar con el par
ordenado Ð+ß ,Ñ y se denota T œ Ð+ß ,Ñ ; + ß , − ‘

RELACIONES EN EL PLANO CARTESIANO
Definición
Sean Eß F © ‘ ß con Eß F Á gÞLlamaremos relación de E en F a todo subconjunto no vacío de E ‚ F .
Definición
Sea V una relación de E en F

y Ð+ß ,Ñ − VÞ

1.-

Diremos que , es una imagen de + mediante V .

2.-

Diremos que + es una preimagen de , mediante VÞ

Definición
Dada V relación de E en F , llamaremos :
1.- Dominio de la relación V al conjunto que denotaremos por H97ÐVÑ
donde
H97ÐVÑ œ ÖB − EÎbC − Fà ÐBß CÑ − V×
2.-Recorrido de la relación V al conjunto que denotaremos por V/-ÐVÑ
donde
V/-ÐVÑ œ ÖC − FÎbB − Eà ÐBß CÑ − V×

2

3.- dado B − E ß Imagen de B al conjunto formado por las imagenes de Bß
el cual denotaremos por M71ÐBÑ
donde
M71ÐBÑ œ ÖC − FÎ ÐBß CÑ − V×
4.- dado C − F ß Preimagen de C al conjunto formado por las preimagenes
de Bß el cual denotaremos por T donde
T donde
K<+0 ÐVÑ œ ÖÐBß CÑ − ‘# ÎÐBß CÑ − V×
6.- Codominio de la relación V al conjunto que denotaremos por
G9.97ÐVÑdonde
G9.97ÐVÑ œ F
Ejemplo
Dados E œ Ö  #ß  "ß $ß %ß &× ß F œ Ö  "ß "ß #ß $ß &ß '×
se tiene que
1.- V" œ ÖÐ  #ß  "Ñß Ð  #ß "Ñß Ð$ß &Ñß Ð%ß "Ñß Ð&ß 'Ñß Ð&ß $Ñ×
es una relación de E en F
donde :
H97ÐV" Ñ œ Ö  #ß$ß %ß &× à V/-ÐV" Ñ œ Ö  "ß "ß $ß &ß '×
G9.97ÐV" Ñ œ Ö  "ß "ß #ß $ß &ß '× œ F
M71Ð  #Ñ œ Ö  "ß "× à M71Ð  "Ñ œ g à M71Ð$Ñ œ Ö&×
T K<+0 ÐV" Ñ À

3

2.- V# œ ÖÐ  #ß $Ñß Ð  "ß  "Ñß Ð  "ß &Ñß Ð$ß "Ñß Ð$ß 'Ñß Ð$ß $Ñß Ð&ß  "Ñß Ð&ß 'Ñ×
es una relación de E en F
donde :
H97ÐV# Ñ œ Ö  #ß  " $ß &× à V/-ÐV# Ñ œ Ö  "ß "ß $ß &ß '×G9.97ÐV# Ñ œ Ö  "ß "ß #ß $ß &ß '× œ F
M71Ð  #Ñ œ Ö$× à M71Ð  "Ñ œ Ö  "ß &× à M71Ð$Ñ œ Ö"ß $ß '×
T K<+0 ÐV# Ñ À

Ejemplo
Dada la relación de ‘ en ‘
V œ šÐBß CÑ − ‘ ‚ ‘ Î ¸B  "¸ Ÿ # •  $  C Ÿ % ›
se tiene que
V œ šÐBß CÑ − ‘ ‚ ‘ Î  # Ÿ B  " Ÿ # •  $  C Ÿ % ›
œ šÐBß CÑ − ‘ ‚ ‘ Î  " Ÿ B Ÿ $ •  $  C Ÿ % ›
œ Ò  "ß $Ó ‚ Ó  $ß %Ó
con locual
H97ÐVÑ œ Ò  "ß $Ó à V/-ÐVÑ œ Ó  $ß %Ó
M71ÐBÑ œ Ó  $ß %Ó ß aB − Ò  "ß $Ó
T K<+0 ÐVÑ À

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Ejemplo
Dada la relacion :
V œ šÐBß CÑ − Ò  "ß $Ó ‚ Ó  $ß %Ó Î #B  C œ  " ›
Determine À M71Ð"Ñ ß M71Ð  $# Ñ ß M71ÐBÑ à
T H97ÐVÑ ß V/-ÐVÑ ß K<+0 ÐVÑ
Solución
para determinar el conjunto M71Ð"Ñ, consideramos en la...