fundamentos2013 circunferencia

Universidad de la Frontera
Facultad de Ingenier´ıa

TEMUCO, Agosto 8 de 2013

Departamento de Matem´
atica y Estad´ıstica

Resoluci´
on Gu´ıa de Trabajo. Geometr´ıa Anal´ıtica.
Fundamentos de Matem´
aticas.
Profesores: P. Valenzuela - A. Sep´
ulveda - A. Parra - L. Sandoval - J. Molina - E. Milman M. Choquehuanca - H. Soto - E. Henr´ıquez.
Ayudante: Pablo Atu´an.

1

Circunferencia.
1. Escribirla ecuaci´
on de la circunferencia de centro C(−3, −5) y radio 7.
Soluci´
on: Tenemos (x + 3)2 + (y + 5)2 = 49.
2. Los extremos de un di´
ametro de una circunferencia son los puntos A(2, 3) y B(−4, 5). Hallar la ecuaci´
on
de la circunferencia.
Soluci´
on: Determinamos la longitud del di´ametro utilizando la f´ormula ”Distancia entre dos puntos”
como sigue:

d[(2, 3) : (−4, 5)] =

(2 − (−4))2 + (3− 5)2

62 + (−2)2
√
d = 2 10
d =

√
Luego, el radio es igual a 10. Por otra parte, determinamos el punto medio entre A y B para obtener
el centro de la circunferencia como sigue:
2 + −4 3 + 5
,
2
2
C = (−1, 4)
C =

Por lo tanto, la ecuaci´
on de la circunferencia queda determinada por (x + 1)2 + (y − 4)2 = 10
3. Hallar la ecuaci´
on de la circunferencia de centro (7, −6) y que pasa por el punto (2,2)
Soluci´
on: Reemplazando el centro C(7, −6) en la f´ormula general de la circunferencia tenemos que:
(x − 7)2 + (y + 6)2 = r2
Como la ecuaci´
on de la circunferencia pasa por el punto (2, 2), tenemos que:
(2 − 7)2 + (2 + 6)2 = r2
r2 = 89
√
r =
89
Por lo tanto, la ecuaci´
on de la circunferencia queda determinada por:
(x − 7)2 + (y + 6)2 = 89
.

4. Hallar la ecuaci´
on de circunferencia quetiene por centro el punto (2, −4) y que es tangente al eje y.
Soluci´
on: Reemplazando en centro C(2, −4) en la f´ormula general de la circunferencia tenemos que:
(x − 2)2 + (y + 4)2 = r2
Como la circunferencia es tangente al eje y, tenemos que r = 2. Por lo tanto, nuestra ecuaci´
on de
circunferencia queda determinada por:
(x − 2)2 + (y + 4)2 = 4
5. Una circunferencia tiene su centro en el puntoC(0, −2) y es tangente a la recta 5x − 12y + 2 = 0. Hallar
su ecuaci´on.
Soluci´
on: Reemplazando el centro C(0, −2) en la f´ormula general de la circunferencia tenemos que:
x2 + (y + 2)2 = r2
Determinamos el radio de la circunferencia, utilizando la f´ormula ”Distancia Punto - Recta” como sigue:

d[(0, −2) : 5x − 12y + 2 = 0] =

|5 · 0 − 12 · −2 + 2|
52 + (−12)2

26
13
= 2
=

Por lo tanto, laecuaci´
on de la circunferencia queda determinada por:
x2 + (y + 2)2 = 4
6. Hallar la ecuaci´
on de la circunferencia cuyo centro es el punto (−4, −1) y que es tangente a la recta
3x + 2y − 12 = 0
Soluci´
on: Reemplazando el centro C(−4, −1) en la f´ormula general de l circunferencia tenemos que:
(x + 4)2 + (y + 1)2 = r2
Determinamos el radio de la circunferencia, utilizando la f´ormula ”Distancia Punto- Recta” como sigue:
|3 · −4 + 2 · −1 − 12|
√
32 + 22
√
= 2 13

d[(−4, −1) : 3x + 2y − 12 = 0] =

Por lo tanto, la ecuaci´
on de la circunferencia queda determinada por:
(x + 4)2 + (y + 1)2 = 52
7. Encuentre la ecuaci´
on de la circunferencia de radio 5 y que tiene como centro el punto de intersecci´
on de
las rectas 3x − 2y − 24 = 0 y 2x + 7y + 9 = 0.
Soluci´
on: Determinamos el centro de nuestracircunferencia, resolvi´endo el sistema de ecuaciones entre
3x − 2y − 24 = 0 y 2x + 7y + 9 = 0, tenemos que el centro es el punto (6, −3). Reemplazando el centro
C(6, −3) y el radio 5 en la f´
ormula general tenemos que la ecuaci´on de la circunferencia esta dada por:
(x − 6)2 + (y + 3)2 = 25

8. Hallar la ecuaci´
on de la circunferencia que pasa por el punto (7, −5) y cuyo centro es el punto deintersecci´on de las rectas 7x − 9y − 10 = 0 y 2x − 5y + 2 = 0.
Soluci´
on: Determinamos el centro de nuestra circunferencia, resolvi´endo el sistema de ecuaciones entre
7x − 9y − 10 = 0 y 2x − 5y + 2 = 0, tenemos que el centro es el punto (4, 2). Reemplazando el centro
C(4, 2) en la f´
ormula general tenemos que:
(x − 4)2 + (y − 2)2 = r2
Como la ecuaci´
on de la circunferencia pasa por el...