Funiciones Equivalentes

Funciones equivalentes en un punto
Sean f, g ∈ F(D, R) de igual l ́ımite, finito o infinito en a (a ∈ R ́o a = ±∞). Decimos
que f y g son equivalentes en a si verifican lasiguiente condici ́on:
f (x)
f ∼ g en a ⇐⇒ l ́ım =1x→a g(x)
Por los mismos razonamientos que se hicieron para sucesiones se cumple:
- Si f ∼ g en a, tienen el mismo l ́ımite en a.
- Si f y g tienen en a el mismo l ́ımite, finito y nonulo, f ∼ g en a.
- Si f ∼ g en a, f − g es despreciable frente a ambas en a.
Sustituci ́ on por funciones equivalentes
a) Producto y cociente. Al sustituir en productoso cocientes una funci ́on por otra
equivalente, la expresi ́on que resulta es equivalente a la primera. Si f1 ∼ f2 y
g1 ∼ g2 en a,
f1 · g1 ∼ f2 · g2 en asi ∃ l ́ım f2 · g2
x→a
f1 /g1 ∼ f2 /g2 en a si ∃ l ́ım f2 /g2x→a
b) Logaritmo. Al sustituir el argumento de un logaritmo por una funci ́on equiva-
lente, la expresi ́on que resulta es equivalente a la primera. Si f1 ∼f2 en a, se
cumple
≥ 0 (φ = 1)
l ́ım f1 (x) = φ =⇒ ln f1 ∼ ln f2 en a
x→a+∞
c) Potencial-exponencial. Si f1 ∼ f2 y g1 ∼ g2 en a, se cumple
≥ 0 (φ = 1)
l ́ım f1 (x) = φ =⇒ l ́ım (f1 (x))g1 (x) = l ́ım(f2 (x))g2 (x)
x→a +∞ x→a x→a
pero, en general, (f1 )g1 ∼ (f2 )g2 .
d) Suma y diferencia. En una suma (diferencia) no se...