Gauss-jordan particionado

Métodos Numéricos I
Curso en línea Autor: Ianesa Estudillo Villanueva Asesoramiento y Revisión: Lic. Anabel Moreno Baltazar

3.3.5 Gauss-Jordan particionado. Introducción
Este método nos ayuda a encontrar la solución de un sistema de ecuaciones con un número muy grande de variables, utilizando el método de Gass-Jordan pero con matrices en vez de valores. De igual manera que el método anteriorparticionamos la matriz de la siguiente manera:

 A11 A  21  I A  21

A12   x1  b1   A22   x2  b2       A'12   x1  b '1    A22   x2  b2    

Hay que transformar la matriz de la siguiente manera:

A11 es el pivote, si multiplicamos todos los elementos del primer renglón de la matriz (1) 1 por la inversa de A11 y nos queda lo siguiente:
 A'12  A111A12  b'1  A111 b1

Lo siguiente es hacer ceros la matriz

A21 , para transformar la matriz en:

I 0 

A'12   x1  b '1    A' 22   x 2  b ' 2      

donde

A' 22  A22  A21 A'12

b ' 2  b2  A21b '1
El siguiente paso es hacer unos la matriz reglón por
' 1

A' 22  I multiplicando los elementos del segundo

( A 22 ) , la inversa del nuevo pivote paraobtener el siguiente sistema:

'  I A'12   x1  b 1    0 I   x 2  b '' 2       

donde:

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b '' 2  ( A22 ) 1 b ' 2
Finalmente, hay que hacer
''  I 0  x1  b 1    ''  0 I   x     2  b 2   

A12  0 , para obtenerel siguiente sistema:

donde

b ''1  b '1  A'12b '' 2

b ''1  La solución del sistema es X   ''  b 2   

Modelo
AX  b
Nota: Este algoritmo se aplica cuando el número de variables es muy grande.

Supuestos de aplicación
 El sistema debe de tener solución única, esto es, que el determinante de la matriz debe de ser diferente de cero  

A  0.

El sistema tiene nvariable y n incógnitas. Deberá existir la inversa de la submatriz A11.

Valores Iniciales
    El número de variables. La matriz de coeficientes. El vector términos independientes. El valor p donde se realizará la partición.

Ecuación Recursiva
 A'12  A111 A12  b'1  A111 b1

A' 22  A22  A21 A'12

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b ' 2  b2  A21b '1
b '' 2  ( A22 ) 1 b ' 2
b ''1  b '1  A'12b '' 2

Convergencia
El método termina cuando se encuentra los valores de los vectores X1 y X2.

Algoritmo
PASO 1. 2. PROCEDIMIENTO Leer el número de variables Leer la matriz de coeficientes n OBSERVACIONES

 a11 a12 a  21 a 22 A   a31 a32     a n1 a n 2 
 a11a  21 a A   31 a 41 a 51  a 61  a12 a 22 a 32 a 42 a 52 a 62

a13 a 23 a33  a n3
a13 a 23 a 33 a 43 a 53 a 63

    an4
a14 a 24 a 34 a 44 a 54 a 64

a1n  a2n   a34     a nn  
a15 a 25 a 35 a 45 a 55 a 65 b1  b2   b3   b4  b5   b6  

3.

Se particiona la matriz en cuatro submatrices.

4.

Obtener el determinante (A).

Si determinante (A)=0 Elsistema no tiene solución  FIN del algoritmo.

5.

Aplicar la ecuaciones recursivas vistas con anterioridad para obtener:

1  0 0   0 

0 1 0  0

0  0 0  0 1  0    0 0 1

b'1   b' 2  b' 3     b' n  

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Métodos Numéricos I
Curso en línea Autor: Ianesa Estudillo Villanueva Asesoramiento y Revisión: Lic. Anabel Moreno Baltazar PASO 6. PROCEDIMIENTO Seobtiene la solución. FIN OBSERVACIONES

Ejemplo Resolver el siguiente sistema de ecuaciones. Se realizar la partición del sistema de ecuaciones en cuatro submatrices.
A11

A21

4 4 5 5 1

1 2 3 4 5

1 3 3 -4 2

2 1 -6 7 3

3 9 2 8 4

A12

A22

1 3 5 8 8

b1

b2

Vamos a analizar si el sistema tiene solución, sacando el determinante de la matriz de coeficientes:
A11...