Geoestadistica

FUNDAMENTOS DE GEOESTADÍSTICA
Fernando García Bastante- Universidad de Vigo

El término “geoestadística” fue acuñado por G. Matheron (1962), definiéndolo como “la aplicación del formalismo de las funciones aleatorias al reconocimiento y estimación de los fenómenos naturales”. Dichos fenómenos los caracterizamos por la distribución espacial de una o más variables (v.g. las leyes de un depósitoo las cotas de una superficie topográfica), que denominamos como variables regionalizadas. Si z(xi) es el valor de una variable z en un punto xi, intentamos representar la variabilidad de z en el espacio de interés o dominio D, partiendo del hecho de que la realidad nos muestra que existe una similitud estadística, una correlación, entre pares de valores (z(xi), z(xj+h)), al menos cuando ladistancia entre ellos (h) no supera un cierto valor. El interés en representar dicha variabilidad, surge porque nos permite hacer estimaciones del valor de la variable en los puntos que nos interesen dentro del dominio. La geoestadística interpreta cada valor z(xi) como una realización particular de una variable aleatoria Z(xi), y el conjunto de éstas dentro del dominio D, constituye una funciónaleatoria (Z(x)={Z(xi), ∀xi∈D}). El problema de caracterizar la variabilidad espacial de z(x) se reduce entonces, a caracterizar la correlación entre las variables aleatorias que integran la función aleatoria. Esta función incorpora tanto el carácter aleatorio que percibimos en la variable, como la estructura espacial de la variabilidad de los valores que observamos en la realidad. “Esta interpretaciónfundamental se justifica a posteriori, si produce soluciones coherentes y aceptables a los problemas variados que aparecen en la práctica”, (Journel y Huijbregts, 1978). Al igual que ocurre en el resto de los modelos matemáticos que intentan reflejar algún aspecto de la realidad, la geoestadística establece un conjunto de hipótesis, y las desarrolla hasta obtener unas conclusiones. Si éstas seajustan a lo que observa en la realidad estipulamos que el modelo es válido. Cualquier conjunto de n variables de la función aleatoria, localizados en n puntos diferentes, se caracteriza por su función de distribución de probabilidad múltiple (nvariable), esto es: Fx1,x2...xn (z1, z2,...zn) = Prob[Z(x1)≤ z1, Z(x2)≤ z2,...Z(xn)≤ zn], con zi

= z(xi), y siendo n cualquier número entero positivo.Nuestro problema en general es calcular el valor esperado (E{Z(xk)}) de una variable (Z) en un punto de interés (xk), conocida una realización de la función aleatoria en una serie de puntos (x1,x2...xl con Z(xi) = zi, i= 1,...l). El problema tiene solución inmediata si conocemos Fx1,x2...xl,xk, mas como no es el caso (sólo disponemos de una realización de la función aleatoria), necesitamos estableceruna serie de hipótesis que nos permitan cierta inferencia estadística, y debemos proponer, además, algún criterio de selección del estimador a utilizar (las hipótesis no permiten el cálculo directo del valor buscado). Para medir el grado de similitud entre dos variables aleatorias se emplean los momentos de segundo orden, en particular la función covarianza definida como: C{Z(xi),Z(xj)} =E{[Z(xi)-m(xi)][Z(xj)-m(xj)]}, representando E{.} la esperanza matemática o valor esperado como vimos anteriormente, y siendo m(xk)= E{Z(xk)}. Como quiera que la estimación y utilización de la función covarianza presenta algunos incovenientes, en geoestadística, se sustituye aquella por la función variograma definida como: 2 γ(xi,xj) = Var{Z(xi)-Z(xj)}, representando Var la varianza definida como:Var{Z(xi)} = E{[Z(xi)-m(xi)]2}. Estos momentos son importantes ya que nos servirán para llevar a cabo la estimación, y de hecho las hipótesis que vamos a establecer respecto a la función aleatoria son de estacionariedad de 2º orden (de los dos primeros momentos). En general una función aleatoria es estrictamente estacionaria, si para cualquier conjunto de n puntos y para cualquier vector h cumple:...