geologia

CÁLCULO 1 (MA 262)
Clase Práctica sobre Tasas Relacionadas. Solucionario
Sesión 4.2 Ciclo 2014 – 01
1. Un canal mide 10pies de largo y sus extremos tienen la forma de triángulos isósceles
que miden 3pies de ancho en la parte superior y tienen una altura de 1 pies. Si el canal
está siendo llenado con agua a razón de 12 pies3/min, ¿con qué rapidez está subiendo
el nivel del agua cuando elagua tiene 6 pulgadas de profundidad? (pág261, 27)
Solución:
Variables:
V: Volumen de agua en el canal (pies3).
h: Altura de la columna de agua (pies)
x: Semiamplitud del espejo de agua a
una altura h (pies)
dV
 12pies3 / min
dt
dh
 ?, cuando h  6 pulg .
Incógnita:
dt

Dato:

Relacionando variables y operando:

(2 x)(h)
(10)  10 xh,
2
1 h
por semejanza de triángulos:
  x 1,5h , por lo tanto:
1,5 x
dV
dh
 30h .
V  15h 2 , luego derivamos con respecto a t:
dt
dt
 1  dh
Ahora remplazamos los datos y obtenemos: 12  30  , de
 2  dt
El volumen de agua es: V 

donde

dh
 0,8 pies / min.
dt

Respuesta completa: El nivel del agua sube con una rapidez de 0,8pies/min,
cuando el agua tiene 6 pulgadas de profundidad.
2. Una persona se alejade un edificio de 25 metros de altura con una velocidad de 2 m/s,
¿con qué velocidad varía el ángulo que forma el segmento que va de los pies de la
persona a la parte superior del edificio con el piso cuando la persona esté a 15 metros
de la base del edificio?
Solución:
Variables:
x: distancia recorrida por la persona en un tiempo t (m)
 : ángulo que forma la horizontal con el segmento
queva de los pies de la persona a la parte superior del
edificio (rad)
dx
 2 m/s
Dato:
dt
Incógnita:

d
 ?, cuando x  15 m.
dt

1

Relacionando variables y operando:
Del gráfico y teniendo en cuenta que el edificio tiene 25m de
25
altura, tan  
, derivando con respecto a t, se tiene:
x
d
25 dx
sec2 
 2
.
dt
x dt
Reemplazando los valores5tendremos que para x=15,25 5
tan  

15 3


d
25 1
2   50 cos2    350  3    50 9  0,06 rad/s.
 2


2
dt
225
225  34 
225 34
15 sec 
Respuesta completa: El ángulo disminuye a una velocidad de aproximadamente
0,06 rad/s, cuando la persona está a 15 m de la base del edificio.
2

3. La altura de un triángulo disminuye a razón de 4 cm/s mientras que su base aumenta a
razón de 6cm/s, ¿a qué velocidad cambia el área del triángulo cuando su altura es de 22
cm y su base de 24 cm?
Solución:
Variables:
A: área del triángulo (cm2)
x: base del triángulo (cm)
h: altura del triángulo (cm).
t: tiempo en segundos.
dh
dx
 4 cm/s y
 6 cm/s
Dato:
dt
dt
Incógnita:

h

x

dA
 ?, cuando h  22cm y x  24cm
dt

Relacionando variables y operando:
1
Como: A xh, derivando con respecto a t.
2

dA 1  dx
dh 
  h  x  , reemplazando los datos tenemos:
dt 2  dt
dt 
dA 1
 6  22  24 4  18
dt 2
Respuesta completa: El área del triángulo aumenta a una velocidad de 18 cm2 /s ,
cuando la altura es 22cm y la base es de 24cm.
4. Dos lados de un triángulo miden 4m y 5m y el ángulo entre ellos aumenta con una
rapidez de 0,06 rad/s.Calcule la rapidez con que el área y la altura del triángulo se
incrementan cuando el ángulo entre los lados es de 1 radian.
Solución:

4
4 4

h
h

h

Variables:
 : ángulo entre lados conocidos (rad)
h: altura del triángulo (m)
A: área del triángulo m 2

 

2

Dato:

d
 0,06 rad/s
dt

Incógnita:

dA
dh
 ?,
 ??, cuando   1rad .
dt
dt

Relacionando variablesy operando:
5h
Como el área del triángulo es: A 
y h  4sen  , entonces A  10 sen ,
2
derivando con respecto a t,
dA
d
 10 cos
 10 cos10,06   0,32
dt
dt
dh
d
 4 cos
 4 cos10,06   0,13
dt
dt
Respuesta completa: La rapidez con que aumenta el área es aproximadamente
0,32 m2 /s y la altura aumenta con una rapidez de 0,13 m/s, cuando el ángulo entre
los lados...