Geologia

Ap´ndice A
e

Propiedades est´ticas de ´reas
a
a
planas
A.1

Momento est´tico y Centroide
a

Sea el ´rea plana de la Figura A.1.
a

´
Figura A.1 Area plana. Centroide
El ´rea S de la misma se obtiene mediante la expresi´n
a
o
S=

dS

(A.1)

S

siendo dS un elemento diferencial de ´rea, con coordenadas y y z respecto a un sistea
ma de coordenadas arbitrario, con origenen O, como el mostrado en la Figura A.1.
Los momentos est´ticos del ´rea con respecto a los ejes y y z, se definen como
a
a

Qy =

z dS

(A.2)

y dS

(A.3)

S

Qz =
S

Los momentos est´ticos pueden ser positivos o negativos, dependiendo de la posici´n
a
o
de los ejes y y z. Su ecuaci´n de dimensiones es L3 . La obtenci´n de las coordenadas
o
o
(yC , zC ) del centroide esinmediata a partir de los momentos est´ticos, mediante las
a
expresiones
215

216

Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales

yC

=

Qz
=
S

y dS
S

(A.4)
dS

S

zC

=

Qy
=
S

z dS
S

(A.5)
dS

S

Las coordenadas pueden ser positivas o negativas, dependiendo de la posici´n de los
o
ejes y y z.
Si un ´rea es sim´trica respecto a un eje, elcentro de gravedad debe encontrarse
a
e
sobre ese eje, como se muestra en la Figura A.2 a), ya que el momento est´tico de
a
un ´rea respecto a un eje de simetr´ es nulo. Si un ´rea tiene dos ejes de simetr´ el
a
ıa
a
ıa,
centro de gravedad se encuentra en la intersecci´n de ambos ejes, como se muestra
o
en la Figura A.2 b).

Figura A.2 Simetr´ y posici´n del centroide
ıas
o
A menudo,un ´rea se puede descomponer en varias figuras simples. Si se conoce el
a
a
´rea Si de cada una de estas figuras y la localizaci´n de su centroide (yCi , zCi ), es poo
sible obviar la integraci´n de las expresiones (A.4) y (A.5), y calcular las coordenadas
o
del centroide mediante las expresiones

yC

=

zC

=

n
i=1 yCi Si
n
i=1 Si
n
i=1 zCi Si
n
i=1 Si

(A.6)
(A.7)

Siuna de las figuras simples tuviera un agujero, dicho agujero se considerar´ como
ıa
una parte adicional de ´rea negativa.
a

A.2
A.2.1

Momentos de inercia y radios de giro
Momentos de inercia

Los momentos de inercia Iy e Iz de un ´rea con respecto a los ejes y y z, respectivaa
mente, se definen como
(c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´rez
e

Propiedades est´ticas de ´reasplanas
a
a

217

z 2 dS

(A.8)

y 2 dS

Iy =

(A.9)

S

Iz =
S

Los momentos de inercia son cantidades siempre positivas y de dimensiones L4 .
El momento polar de inercia JO , o momento respecto a un punto O, como se
muestra en la Figura A.3,

Figura A.3 Momento polar de inercia
se obtiene mediante la expresi´n
o
y 2 + z 2 dS = Iz + Iy

r2 dS =

JO =
S

(A.10)

SEl momento de inercia de una secci´n compuesta con respecto a cualquier eje es la
o
suma de los momentos de inercia de sus partes respecto a dicho eje.

A.2.2

Radios de giro

El radio de giro i de una secci´n, se define como la ra´ cuadrada del cociente
o
ız
entre el momento de inercia y el ´rea de la secci´n. Referidos a unos ejes de referencia
a
o
y y z, ser´n
a

iy =
iz =Iy
S
√
Iz
S

(A.11)
(A.12)

El radio de giro es una cantidad siempre positiva y de dimensiones [L]. Aunque
el radio de giro no tiene un significado f´
ısico obvio, se puede considerar como la
distancia (medida desde el eje de referencia) donde deber´ concentrarse todo el ´rea
ıa
a
para dar el mismo momento de inercia que el ´rea original.
a

A.3

Producto de inercia

Elproducto de inercia de una secci´n respecto a un sistema de ejes perpendiculares
o
y y z, se define como
(c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´rez
e

218

Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales

Iyz =

y z dS

(A.13)

S

Al igual que en los momentos de inercia, la dimensi´n del producto de inercia es
o
L4 . Sin embargo, el producto de inercia puede ser positivo o...