Geometría Analitica

analítica Analítica en el Plano
Para hacer geometría analítica en el plano consideramos un sistema rectangular de
coordenadas, que nos permite identificar los puntos del plano con pares ordenados de
2

×

o

.

Distancia entre dos puntos de

2

.-

Si P ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) son dos puntos del plano, la distancia entre ellos está dada por:
1

d ( P , P2 ) =
1

( x1 −x2 ) + ( y1 − y2 )
2

2

Punto medio de un segmento: Si P ( x1 , y1 ) y P ( x2 , y2 ) son dos puntos del plano, el punto
1
medio del segmento

P P2
1

es

 x1 + x2

M


2

,

y1 + y2 
2


Circunferencias.Definición: La circunferencia con centro en un punto C del plano y de radio r > 0 , es el
lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya distancia a C es r.Si el centro es C ( h, k ) , un punto P ( x, y ) pertenece a la circunferencia si y sólo si

d ( P, C ) = r , es decir, si y sólo si

( x − h) + ( y − k )
2

2

= r2

La ecuación de toda circunferencia es de la forma general:

Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0
donde A, B, C , D y E ∈

son reales fijos y A = B ≠ 0 .

Recíprocamente, toda ecuación de esta forma general, con A = B ≠ 0, representa una
circunferencia en el plano o una circunferencia degenerada (un punto o el conjunto vacío)
1

Rectas en el plano.Rectas paralelas a los ejes coordenados:
Verticales o paralelas al eje y :

x=c

(eje y tiene ecuación

x = 0)

Horizontales o paralelas al eje x :

y=c

(eje x tiene ecuación

y =0)

Def.- Si P ( x1 , y1 ) y P ( x2 , y2 ) son dos puntos que noestán sobre una vertical, se define la
1
pendiente del segmento como la razón:

m=

y2 − y1
x2 − x1

Def.- Dados un número real m y un punto P0 ( x0 , y0 ) del plano, la recta de pendiente m
que pasa por el punto P0 es el lugar geométrico del conjunto de todos los puntos P del
plano tales que la pendiente del segmento P0 P es constante e igual a m .
Ecuación de la recta de pendiente m yque pasa por P0 :

y − y0 = m ( x − x0 )
Esta ecuación tiene la forma general:

y = mx+b
donde m es la pendiente de la recta y b ∈ IR es la coordenada del punto de intersección de l
con el eje y .
Recíprocamente, la ecuación y = mx + b , representa a la recta de pendiente m e intersección
con el eje y igual a b .
La forma general para la ecuación de una recta es:

ax+by+c =0
donde

a,b y c ∈

son fijos y al menos una de las constantes a o b es no nula.

Rectas paralelas.•

Dos rectas verticales son paralelas.

•

Si l1 y l2 , son rectas de pendientes m1 y m2 , respectivamente, entonces:
2

l1 // l2 ⇔ m1 = m2
Rectas perpendiculares.•

Una recta vertical y una horizontal, son perpendiculares.

•

Si l1 y l2 , son rectas de pendientes no nulas, m1 y m2 ,respectivamente, entonces:

l1 ⊥ l2 ⇔ m1 ⋅ m2 = −1
Distancia de un punto a una recta.Si l es la recta de ecuación ax + by + c = 0 , y P0 ( x0 , y0 ) es un punto del plano, la distancia
de P0 a l está dada por:

d ( P0 , l ) =

a x0 + b y0 + c
a 2 + b2

Elipses.Sean F1 , F2 dos puntos del plano y k > 0 un número mayor que la distancia entre
estos puntos. La elipse de focos F1 , F2 y ejemayor de longitud k, es el lugar geométrico
de los puntos del plano cuya suma de distancias a F1 y F2 es k. El punto medio entre los focos
es el centro de la elipse.
Ecuación de una elipse con centro en el origen y eje mayor horizontal:
Si los focos de la elipse son los puntos F1 ( −c,0 ) , F2 ( c,0 ) con c > 0 y k = 2a es la
longitud del eje mayor, con 2a > 2c , es decir a > c , entonces unpunto P ( x, y ) del plano
pertenece a la elipse si y sólo si

d ( P, F1 ) + d ( P, F2 ) = 2a
Esta condición se traduce en la ecuación equivalente:

x2 y 2
+ 2 = 1 , siendo b 2 = a 2 − c 2 , b > 0 ,
2
a
b
que es la ecuación de la elipse.
Notemos que de la definición de b , se tiene b < a .

3

Para dibujar el gráfico de esta ecuación, consideremos algunas simetrías que puede...