Geometría Básica

Problemas Resueltos
de Geometr´a Elemental
ı
Roberto Guti´ rrez-Herrera, B.Sc.
e
Licenciatura en Matem´ tica Aplicada, USAC
a
wrgutierrez@ing.usac.edu.gt
Resumen
Las siguientes p´ ginas contienen la resoluci´ n de 13 problemas tomados del libro Apuna
o
tes de Geometr´a del Ing. Jos´ Saquimux, el cual hace un tiempo fue la base para ense˜ ar la
ı
e
n
Unidad de Geometr´a del curso deMatem´ tica B´ sica 1 (Prec´ lculo) del Departamento de
ı
a
a
a
Matem´ tica de la Facultad de Ingenier´ de la USAC.
a
ıa
El objetivo del mismo es presentar al estudiante, problemas de geometr´a distintos a los
ı
´
simples c´ lculos de per´metros, areas y vol´ menes —como se los ense˜ aron y aprendieron en
a
ı
u
n
el Nivel Medio—, sino dar una faceta m´ s din´ mica de lo que puedenser la Geometr´a, y de
a
a
ı
´
forma general las M ATEM ATICAS.
A
Palabras claves y frases: Geometr´a elemental, LTEX 2ε .
ı

Problema 1.
A partir de la figura 1, plantear ecuaciones que relacionen los lados de tri´ ngulos rect´ ngulos, a
a
a
trav´ s del teorema de Pit´ goras, expresar la longitud de la mediana mx correspondiente al lado x en
e
a
funci´ n de sus lados x, y, z.
oC

z

y
h

mx
u

A

a−u

E

D

a

B

Figura 1: Aqu´ AD = a, DB = a, AE = a − u.
ı
Soluci´ n. Se tendr´ la relaci´ n 2a = x de donde a = x/2, con inc´ gnitas mx , h, u. Para
o
a
o
o
tenemos:
z2 = h2 + (a − u)2 ,
m2
x

2

2

= u +h ,
1

ACD

(1)
(2)

y para

CED
y2 = h2 + (a + u)2 .

(3)

Al restar (1) de (3) tenemos
y2 − z2 = (a + u)2 − (a −u)2
= 4au
x
= 4· ·u
2
de esto
u=

y2 − z2
.
2x

De lo cual obtenemos
x y2 − z2
+
2
2x

h2 = y2 −

(4)
2

,

(5)

sustituyendo (4) y (5) en (2) tenemos
m2
x

=

2

y2 − z2
2x

x y2 − z2
+
+ y −
2
2x

2

2

y finalmente
2(y2 + z2 ) − x2
.
2

mx =
Problema 2.
Deduzca que los tri´ ngulos
a
tri´ ngulo NAP.
a

GNP,

♦

´
´
AGP tienen areaigual a un tercio del area del

AGN &

A

y
h
G : Baricentro
h0
N

D

x
B

u
a
Figura 2: Mediana AB respecto al lado a.

2

P

´
Soluci´ n. De la figura 2 tenemos AB = x + y, 2x = y y AB = 3x, y de esto Area
o
ah0
´
Area GNP = . Se buscar´ h0 a partir de ABD:
a

ANP

=

ah
2

y

2

h
x+y
=
h0
x
es decir h0 = h , sustituyendo
3
´
Area

´
ParaArea

AGN

´
tenemos Area

AGN

´
Area

´
Para Area

AGP

´
tenemos Area
´
Area

AGP

AGP

GNP

´
= Area
AGN

=

ABN

´
− Area

.
BGN ,

es decir

1 a
1 a
· · h − · · h0
2 2
2 2
ah a h
=
− ·
4
4 3
ah
=
6
´
Area ANP
=
.
3
´

ANP

´

ANP − Area GNP − Area AGN ,

ANP −

´
Area
3

ANP

=

´
= Area

´
= Area

a h
·
23
ah 1
=
·
2 3
´
Area
=
3
=

´
Area
3

ANP

−

´
Area
3

es decir

ANP

.

Problema 3.
A partir del tri´ ngulo rect´ ngulo de la figura 3, muestre que los tri´ ngulos ADC, ABC &
a
a
a
√
son semejantes entre si. Asimismo, mostrar el teorema de las alturas, es decir, h = mn.
Soluci´ n. De
o

♦

BDC

ABC tenemos:
h2 + m 2 = x 2
h2 + n2 = y2

de
y de(6)
(7)

x2 + y2 = (m + n)2 .

(8)

BCD:
ACD: x2 + y2 = z2 , es decir

3

D
n
B

m

y
h
x

A

C
Figura 3: En este caso z = m + n.

Al sumar (6) con (7) y luego de utilizar (8):
2h2 + m2 + n2 = x2 + y2
= (m + n)2
= m2 + 2mn + n2
2h2 = 2mn
√
h = mn.
Como

ACD y

BCD son rect´ ngulos y tienen v´ rtice com´ n en D:
a
e
u
z y
=
y n
y2 = nz
√
y = nz.Como

ACD y

ABC son rect´ ngulos y tienen v´ rtice com´ n en A:
a
e
u
z
x
=
x m
x2 = mz
√
x = mz.

Adem´ s
a

z
x

y
= h , de donde

h=

xy
.
z

Problema 4.
´
En la figura 4, sea BD la bisectriz del angulo ∠ABC, aqu´ z = m + n.
ı
Deduzca el teorema de la bisectriz, es decir
Deducir que: n =

yz
x+y ,

m=

xz
x+y .

4

m
n

= x.
y

♦

C
m
D...