Geometria analitica

PROPIEDADES Y ECUACIONES DE LA RECTA:

Las formas que observamos en la naturaleza, por ejemplo, las ramas de un árbol, las hojas, las piedras, las formas de las nubes, las formas de las montañas, los ríos, etc., normalmente no se ven en línea recta. Sin embargo, si nos fijamos bien, podemos decir que cada cierto tramo, ya sea de rama de árbol, del contorno de una montaña, odel cauce de un río, se observa como una línea recta. En las construcciones que hace el hombre podemos observar que la línea recta está presente con mayor frecuencia que en la naturaleza.

Una de las características del estudio de la Geometría Analítica, es asociar una ecuación a una curva, recta o lugar geométrico y viceversa, por lo que utilizaremos estacaracterística para delimitar el concepto de línea recta en este contexto y empezaremos con un ejercicio.

Instrucciones:
Asocia las columnas, colocando en el recuadro de cada gráfica, el número de la condición que representa y compara los resultados con tus compañeros.

Condición Gráfico
1 Pasa por (-3, 2) y (5, -4)



2 Pasa por (4, – 1) e interseca al eje “y” en y = 2EJERCICIO 1


3 Pasa por ( 5, 2 ) y es paralela al
eje “x”

4 Pasa por el origen y su ángulo


de inclinación θ = 45°

5 Pasa por (3, -4) y tiene
pendiente m = 1
5

La recta como lugar geométrico

* Forma punto-pendiente.



Existenvarias formas de describir la línea recta, una de las definiciones de línea recta que utilizaremos es la que tiene que ver con el lugar geométrico de los puntos tales que, tomados dos puntos diferentes P(x1 y1) y Q (x2 y2) cualesquiera, el valor de la


Pendiente calculada a partir de

Constante.

y 2  y 1
m 
x 2  x 1

Resulta siempre

Es decir,
y  y 1
m 
x  x 1

y 2  y1
x 2  x 1

Ordenando de manera distinta estas igualdades tenemos:


y – y1 = m (x – x 1)

que se utiliza para construir la ecuación de una recta si tenemos como datos el valor de la pendiente y un punto por donde pasa la recta que quedaría perfectamente determinada con estas dos propiedades.

Ejemplo 1: Obtén la ecuación dela recta graficada en la figura de la izquierda. Datos recolectados de la gráfica:
P ( 5 6) y m  3
2

Se escoge cualquier punto que pertenezca a la recta, en este caso fue el punto P (5 6) y el valor de la pendiente.

Ecuación:

y – y1 = m (x – x1 )

Sustituyendo los valores:

=
y – 6 3 (x – 5)
2

2 ( y – 6) = 3 (x – 5 )

2y – 12 = 3x – 15

-3x + 2y -12 + 15 = 0-3x + 2y + 3 = 0

3x – 2y – 3 = 0 Ecuación de la recta.

Ejemplo 2: Obtén la ecuación de la recta que pasa por el punto P (-6 , -2) y tiene pendiente m = - 5

Ecuación:

y – y1 = m (x – x1 )

Sustituyendo los valores obtenemos:

y – (-2) = -5[x – (-6)]

y + 2 = -5( x + 6)

y + 2 =- 5x – 30

5x + y + 2 + 30 = 0

5x + y + 32 = 0 Ecuación de la recta

* Ecuación de unarecta conocidos dos puntos

De la misma forma, si los datos conocidos son las coordenadas de dos puntos que pertenecen a la recta, podemos obtener su ecuación por diferentes procedimientos como se muestra en el ejemplo:

Ejemplo. Obtén la ecuación de la recta que pasa por los puntos: A (-2 , 5) y B(4 , - 3).

Primero graficamos los puntos y trazamos la recta; posteriormente, calculamos elvalor de la pendiente contando en la gráfica o sustituyendo los valores de las coordenadas en la fórmula de la pendiente.



Obteniendo el valor de la pendiente de cualquier manera y escogiendo las
Coordenadas de cualquiera de los dos puntos, construimos la ecuación escogiendo el punto A (-2 5) en este caso:
y – y1 = m (x – x1 )


y – 5 = 4 (x –(-...