Geometria Analitica

UNIDAD I ELEMENTOS DE GEOMETRIA ANALITICA


La Geometría Analítica se relaciona con dos problemas básicos:
• Dada una ecuación, encontrar su gráfica.
• Dada una figura (recta, circunferencia, parábola, elipse, etc.), en un sistema coordenado, encontrar su ecuación.




SECCIONES CÓNICAS ( ó CÓNICAS)

Una sección cónica, es la curva de intersección de un plano con un conocircular recto. Existen tres tipos de curvas que se obtienen de esta manera: La parábola, la elipse, incluyendo la circunferencia (como un caso especial) y la hipérbola.

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1.1 LA CIRCUNFERENCIA

De las cuatro curvas cónicas, la circunferenciaes la más simple y geométricamente se describe como la intersección de un cono recto circular y un plano paralelo a la base del cono, como se muestra en la Figura 1

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Figura 1 La sección cónica correspondiente a la circunferencia

Definición: La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que participan de la propiedad de equidistar de un punto fijo llamadocentro. (Todos los puntos están a una distancia fija r llamada radio de un punto fijo C llamado centro)


1.1.1 Ecuación de la circunferencia de radio r y centro C(h,k)

Si C = (h,k) es un punto en el plano, entonces una circunferencia con centro en C, y con radio r >0 , consiste en TODOS los puntos que están a r unidades de C.

Como se ve en la figura 1, un punto P = (x,y) está en lacircunferencia, siempre y cuando d(C,P) = r, o bien, según la fórmula de la distancia
[pic] = r
Esta ecuación es equivalente a:
(x – h)2 + (y – k) 2 = r 2

que corresponde a la ecuación normal de una circunferencia con centro en C(h,k) y radio r.

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Figura 2 Circunferencia con centro en C(h,k) y radio r

Si h = 0 y k = 0, la ecuación general se reduce a x2 + y2 = r2, que es laecuación de una circunferencia de radio r y centro el origen. Si r = 1, se dice que la gráfica es la de una circunferencia unitaria.

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Figura 3 Circunferencia de centro en el origen
Al elevar al cuadrado los términos de la última ecuación y al agrupar términos se llega a una ecuación de la forma:

x2 + y2 + ax + by + c = 0

en la cual a, b, c son números reales. Al revés, si secomienza con esta ecuación, siempre es posible completando los cuadrados, obtener una ecuación de la forma

(x – h)2 + (y – k) 2 = d

Si d > 0, la gráfica es una circunferencia con centro C(h,k) y radio r = [pic] .
Si d = 0, la gráfica sólo consiste en el punto C(h,k). Por ultimo, si d < 0, la ecuación no tiene soluciones reales, y por lo tanto, no tiene gráfica.

Ejemplos:

1. Deducir laecuación de una circunferencia que tenga centro C(-2,3) y que contenga al punto D(4,5)

Solución:
Como D está en la circunferencia, el radio r es d(C,D). Según la fórmula de la distancia:
r =[pic] = [pic]


Con la ecuación normal de una circunferencia, igualando h = –2, k = 3 y r = [pic] , se obtiene:
(x + 2)2 + (y – 3)2 = [pic]


Elevando los términos al cuadrado, yagrupando, se obtiene:
x2 + y2 + 4 x – 6 y – 27 = 0


2. Encontrar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es: x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0



1.1.2 Recta tangente a la circunferencia en un punto

La recta tangente a la circunferencia en un punto es una recta que es perpendicular al radio de la circunferencia en el punto de contacto (o punto de tangencia).

EjemploComprobar que la recta de ecuación 2y + x =10 es tangente a la circunferencia de ecuación x2 + y2 – 2x – 4y = 0. Determinar el punto de tangencia.


1.2 LA PARÁBOLA

La sección cónica llamada parábola, se describe geométricamente como la curva que resulta al interceptar un cono recto circular y un plano paralelo a la generatriz del cono, como se muestra en la Figura 4....