Geometria analitica




Unidad V
Geometría analítica en el espacio























5.1 El Plano.

El plano es la más sencilla de todas las superficies. Un plano se representa por una ecuación lineal o de primer grado en las variables x,y,z. El reciproco también es cierto, es decir, toda ecuación lineal en x,y,z representa un plano. La ecuación general de un plano es, porconsiguiente, Ax+Bx+Cz+D=0, siempre que a,b,c no sean nulos simultáneamente.
La ecuación de la familia de planos que pasan por el punto (x0,y0,z0) es

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.

Forma general de la ecuación de un plano.

Vamos a obtener la ecuación de un plano cualquiera partiendo de sus bien definidas propiedades. En geometría elemental, se dice que una recta es perpendicular aun plano si esperpendicular a cualquier recta del plano que pase por su pie, entonces diremos que una recta a un plano si es perpendicular a toda recta del plano, sin considerar si la recta del plano pasa por el pie de la perpendicular o no. Hay un número infinito de rectas perpendiculares a un plano; cada una de tales rectas se llama normal al plano.
La condición que debe satisfacer cualquier punto del plano,puede escribirse en la forma
Ax+ By+Cz-(Ax1+By1+Cz1)=0

Y como la expresión encerrada entre paréntesis es una constante y, por tanto, puede remplazarse por el término constante –D, resulta que la ecuación es de la forma:

Ax+By+Cz+D=0
ecuación general de un plano.
En donde A,B,C y D son constantes, y [A,B,C] son los números directos de su normal.

Demostración de la ecuación.-Az+By+Cz+D=0

Tiene un número infinito de soluciones. En efecto, por hipótesis, uno por lo menos de los tres coeficientes A,B, y C es diferente de cero. Si suponemos que A≠0, podemos escribir
x= - B/Ay-C/Az-D/A.



Ahora estamos en libertad de asignar cualquier par de valores a y y a z y calcular el valor correspondiente de x; cada terna tal de valores representa una solución de la ecuación yconsecuencia, las coordenadas de un punto que ésta sobre el lugar geométrico de la ecuación. Sean P1(x1,y1,z1) y P2(x2,y2,z2) dos de esos puntos. Tendremos:
Ax1+By1+Cz1+D=0
Ax2+By2+Cz2+D=0

Por resta de ecuaciones resulta;

A(x1-x2)+B(y1-y2)+C(z1-z2)=0

Si se agrega otro punto cualquiera P3(x3,y3,z3) otro punto cualquiera, diferente de los otros dos. Por lo tanto los números directos del a partir de de P1 y P3 son:
[x1-x3,y1-y3, z1-z3]

Al resultar:

A(x1-x3)+B(y1-y3)+C(z1-z3)=0 al restarle las constantes con función de x1,y1,z1
Obtenemos:
Ax3+By3+Cz3+D=0

al Demostrar que P3 también se encuentra en el mismo plano.

Ejemplo:
1. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P1(-2,-1,5) y es perpendicular ala recta l determinada por los puntos P2(2,-1,2)P3(-3,1-2).

Solución:
Los números directos de l son: [-3-2,1+1,-2-2], ósea, [5,-2,4]. Como l es perpendicular al plano, los números directores de su normal son también [5,-2,4]. Por tanto P1(-2-1,5], tenemos que la ecuación buscada del plano es:

5(x+2)-2(y+1)+4(z-5)=0
5x-2y+4z-12=0






5.2 Rectas en el espacio.
5.2.1 Distancia entre un punto y un plano.

Sean:,

La ecuación de un plano,  un punto exterior a él y d la distancia del punto P al plano.
Supóngase otro plano, paralelo al interior, apoyado en P. la ecuación de este plano es:
.

Por ser el punto P₁ del plano, se tiene:


De donde :


Por tanto: para obtener la distancia de u punto a un plano, iguálese a cero la ecuación del plano y luegosustitúyase, en el primer miembro, las variables (x,y,z) por las coordenadas del punto dado.
Teniendo presente que:


Y que  el resultado (1) se escribe también:





Observación. Es útil en vista de ciertas aplicaciones, expresar la distancia de un punto a un plano, introduciendo u determinante de cuarto orden, como se indica a continuación.
Si el plano se apoya en los puntos  su...