Geometria analitica

LUGARES GEOMÉTRICOS.
 
 
17.- Trazar el lugar geométrico generado por los puntos cuya ordenada es igual a -3.

 
 
18.- Trazar el lugar geométrico generado por los puntos cuya abscisa es igual a –3.
 

 
19.- Trazar el lugar geométrico generado por los puntos que equidistan de los puntos de coordenadas A(-2,2) y B(5,-3).

Las distancias AP=BP, entonces igualamos éstas distancias a:AP=d1
BP=d2
Igualemos las distancias, ya que el problema plantea que deben ser los puntos que "equidisten" de las coordenadas A y B.
Entonces d1= d2
Usaremos la siguiente fórmula para encontrar la ecuación de la línea recta que pasa por el punto P(x,y):

Sustituyamos los valores de P, A y B para plantear las ecuaciones de cada una de las distancias y posteriormente igualarlas:
y además: Hacemos la igualación:
=
=

4+4x+x2+4-4y+y2=25-10x+x2+9+6y+y2
Simplificando la ecuación anterior queda:
14x-10y-26=0
SOLUCION:
La línea recta que pasa por los puntos P(x,y) tal que sean equidistantes de las coordenadas A(-2,2) y B(5,-3) es: 14x-10y-26=0.
 
 
20.- Trazar el lugar geométrico generado por los puntos que equidistan 5 unidades del punto de coordenadas A(5,-3).
Para esteproblema emplearemos la ecuación de la distancia:

Entonces tomamos los valores de P(x1,y1), A(5,-3) como A(x2,y2) y las 5 unidades como la distancia, entonces:
(5)2=(x-5)2+(y+3)2
25=(x-5)2+(y+3)2
Entonces la ecuación es de la forma de la circunferencia con centro en h k.

siendo el radio de 5 unidades y el centro en el punto C(h,k), o sea A(5,-3)
SOLUCION:
El lugar geométrico queequidista 5 unidades del punto A(5,-3) es una circunferencia, cuya ecuación es: (x-5)2+(y+3)2=25
La gráfica queda:

 
 
21.- Trazar el lugar geométrico generado por los puntos que satisfacen el hecho de que la suma de sus distancias a los puntos de coordenadas A(-2,2) y B(5,-3) es siempre igual a 10.

 
AP+BP=10
AP=d1
BP=d2
Encontremos las ecuaciones de cada distancia AP y BP:
y también Desarrollamos todos los cuadrados de la ecuación anterior y queda:

 
49x2-70xy+25y2-882x+630y+3969=100x2-1000x+100y2+600y+3400
(-1)(-51x2-70xy-75y2+118x+30y+569)=0
51x2+70xy+75y2-118x-30y-569=0
La ecuación anterior es la que cumple que la suma de las distancias de los puntos A(-2,2) y B(5,-3) al punto P(x,y) es igual a 10, ahora podemos encontrar algunos puntos para trazar la gráfica:
Six=1 entonces la ecuación para el valor de y queda:
51+70y+75y2-118-30y-569=0  75y2+40y-636=0
Si resolvemos la ecuación anterior queda de valores para y:
y1=2.65
y2=-3.19
Si x=0 entonces la ecuación queda:
75y2-30y-569=0
Las soluciones para y de la ecuación anterior son:
y1=2.96
y2=-2.56
Si x=-1 la ecuación queda:
51-70y+75y2+118-30y-569=0  3y2-4y-16=0
Soluciones de y para laecuación anterior:
y1=3.07
y2=-1.73
Con las coordenadas encontradas y si podemos encontrar más, podremos hacer la gráfica del lugar geométrico.
SOLUCION:
El lugar geométrico que cumple que la suma de las distancias a los puntos P(x,y) desde A(-2,2) y B(5,-3) sea 10 unidades es la ecuación:
51x2+70xy+75y2-118x-30y-569=0
Si se grafica por completo queda lo siguiente:

 
 
22.- Trazar el lugargeométrico generado por los puntos que satisfacen el hecho de que la diferencia de sus distancias a los puntos de coordenadas A(-2,2) y B(5,-3) es siempre igual a 5.
A(-2,2) B(5,-3) Debemos encontrar el punto P(x,y) tal que:
AP-BP=5 o también puede usarse BP-AP=5
Usemos la fórmula de la distancia, entonces
AP=d1
BP=d2
y para la otra distancia: 
Ahora sustituimos y despejamos la ecuación:
  
Desarrollando y acomodando la ecuación queda:

 

Simplificando la ecuación anterior queda:
96x2-280xy-428x+420y+1701=0
Ahora propongamos puntos para hacer la gráfica correspondiente:
Si x=1 entonces
96(1)2-428(1)-280y+420y+1701=0
140y=-1369 entonces y=-9.77 si x=1
Si x=0 entonces:
96(0)-428(0)-280(0)y+420y+1701=0
420y=-1701 entonces y=-4.05 si x=0
Si x=-1 entonces:...