Geometria Analitica

GEOMETRIA ANALITICA

Cap´ıtulo 9

La Circunferencia
9.1.

Definici´
on

Se llama circunferencia al lugar geom´etrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo del mismo plano.
Dicho punto fijo se llama centro, a la distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro se acostumbra a llamar radio.
Ecuaci´
on
Sea C(a, b) las coordenadas del centro, r el radio r > 0 y P (x,y) un punto
cualquiera de la circunferencia.
Condici´on del L.G. de P (x, y)
CP = r
p
(x

(x

a)2 + (y
m

a)2 + (y

b)2 = r

b)2 = r2

(1)

A esta ecuaci´on (1) se suele llamar ecuaci´on can´onica o standard de una circunferencia de centro C(a, b) y radio r.

205

Luis Zegarra.

Secci´on 9

206

Notemos que de (1) desarrollando los cuadrados obtenemos
x2 + y 2

2ax

2by + a2 + b2

r2 = 0

(2)

unaecuaci´on de 2o grado en que los coeficientes de x2 e y 2 son iguales y adem´as
iguales a 1, carece del t´ermino en xy. Por tanto la ecuaci´on en particular
x2 + 3xy + y 2

6x + 2y

6=0

no representa a una circunferencia.
Vamos estudiar en el p´arrafo siguiente en forma mas general una ecuaci´on tal
como (2).

9.2.

Forma general centro y radio

Dada la ecuaci´on general de 2o grado, por:
Ax2 +Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

(3)

A, B, C, D, Ey F par´ametros reales
De la observaci´on anterior B = 0, A = C 6= 0, as´ı
Ax2 + Ay 2 + Dx + Ey + F = 0
x2 + y 2 +

D
E
F
x+ y+
=0
A
A
A

completando cuadrados obtenemos:
✓
◆
✓
◆
D 2
E 2 D2 + E 2 4AF
x+
+ y+
=
2A
2A
4A2

(4)

De la definici´on de circunferencia real (9.1-) se deduce que el centro tiene las
coordenadas
✓
◆
D
E
D2 + E 2 4AF
,
C
y alradio r2 =
2A 2A
4A2
esta u
´ltima expresi´on para el radio nos impone que para (3) represente a una
circunferencia real
D2 + E 2 4AF > 0.

Luis Zegarra.

9.3.

Secci´on 9

207

Casos Notables

Un caso de gran importancia es el caso de una circunferencia con centro en el
origen y radio r. De (1) se obtiene haciendo a = b = 0
x2 + y 2 = r2

(5)

Notemos tambi´en que en general una circunferencia talcomo
(x

a)2 + (y

b)2 = r2

necesita ex´actamente de tres condiciones independientes para ser determinada.
Por comodidad en algunos casos conviene ocupar la ecuaci´on
x2 + y 2 + M x + N y + P = 0

(6)

como representante de una circunferencia, note que se debe cumplir que M 2 +
N 2 4P > 0 (condici´on del radio).
En este caso el centro esta dado por
p
✓
◆
M
N
M2 + N2
C
,
y en radio por r =
2
2
29.4.

4P

Familias

Las circunferencias que son tangentes a los ejes coordenados, notemos por ejemplo
que forman una familia, es decir la tangencia implica que a = b o a = b, en el
primer caso el centro se encuentra sobre la bisectriz del I y II cuadrantes y = x,
as´ı su ecuaci´on estar´a dada por
(x ± )2 + (y ± )2 =

2

, a = b = r = ± 6= 0

par´ametro real, para el 2o caso el centro pertenece ay =
ser´a:
(x ± )2 + (y ⌥ )2 = 2

x, as´ı su ecuaci´on

Otro caso importante, es el de la familia de circunferencias que pasan por los
puntos de intersecci´on de dos circunferencias dadas.
Dadas las circunferencias C1 y C2

Luis Zegarra.

Secci´on 9

C1 : x2 + y 2 + M1 x + N1 y + P1 = 0,

M1 + N1

4P1 > 0

C2 : x2 + y 2 + M2 x + N2 y + P2 = 0,

M2 + N2

4P2 > 0

208

estamos en el supuesto queC1 \ C2 = {P1 , P2 } () 4 > 0 ”4” es el discriminante de ecuaci´on de 2o grado que se forma al efectuar la intersecci´
on de C1 y C2 ,
as´ı la ecuaci´on de la familia de circunferencias que pasan por P1 y P2 est´a dada
por
x2 + y 2 + M1 x + N1 y + P1 + (x2 + y 2 + M2 x + N2 y + P2 ) = 0
(7)
par´ametro real

6=

1.

Esta ecuaci´on representa a todas las circunferencias por P1 y P2 con excepci´on,
eneste caso de C2 .
Si = 1 se obtiene la ecuaci´on de la recta que pasa por P1 y P2 , llamada eje
radical, es decir
(M1

M2 )x + (N1

N2 )y + P1

P2 = 0

(8)

Notemos tambi´en que todas las circunferencias
de◆´esta familia
tienen sus
✓
✓
◆ centros
M1 N1
M2 N2
sobre la recta que une los centros O1
,
y O2
,
, es decir
2
2
2
2
(N2

N1 )x

(M2

M1 )y

1
(M1 N2
2

M2 N1 ) = 0

(9)

´esta u
´ltima...