Geometria Analitica

Introducción.

En geometría analítica, al igual que en física, es muy importante elegir un sistema de coordenadas, o referencia, adecuado con objeto de simplificar al máximo las ecuaciones y que elproceso de resolución sea lo más rápido posible. Ello se realiza mediante una transformación de ejes coordenados cuyo proceso general se puede considerar reducido a dos movimientos, uno de traslacióny otro por rotación.


















Transformaciones de coordenadas.

Es una operación por la cual una relación, expresión o figura se cambia en otra siguiendo una ley dada.

Vemos entonces, quemoviendo los ejes coordenados paralelamente a sí mismos, hemos transformado las coordenadas (x, y) de un punto cualquiera de la circunferencia en las coordenadas (`x, `y) y como resultado hemostransformado la ecuación (1) en la ecuación más simple (2). La operación de mover los ejes coordenados en el plano coordenado a una posición diferente, paralelos a los ejes primitivos y dirigidos en el mismosentido, se llama traslación de los ejes coordenadas.
Traslación de los ejes de coordenadas.

Cambio de los ejes de referencia sin girarlos, de manera que cada eje permanece paralelo a su posiciónoriginal. Una vez que el origen de un sistema de ejes x e y se cambia al punto O´ (x0, y0) en el sistema original, es necesario dar a cada punto p (x, y) en el sistema original un nuevo conjunto decoordenadas p´ (x´, y´) en el nuevo sistema, de acuerdo con las siguientes relaciones:
x = x´ + x0
y = y´ + y0
El propósito de tal traslación de ejes es simplificar la ecuación de una curva paraprocesamiento posterior. Por ejemplo, un círculo con centro en (1, 2) y un radio r = 3, se puede describir por medio de la siguiente ecuación:
(x - 1) 2 + (y - 2) 2 = 32
Cuando los ejes de referencia se cambiana O´ (1, 2), el mismo círculo se puede describir como:
[(x´+1) - 1] 2 + [(y´+2) - 2] 2 = 32
O
(x´) 2 + (y´)2 = 32
Como se muestra, es definitivamente más fácil trabajar con la ecuación en el nuevo...